«— …А что вы улыбаетесь?
— Наконец вспомнил, на кого вы похожи.
— У вас крепкие нервы.»

Фильм снят по мотивам рассказа «Саймон Флэгг и дьявол» американского писателя-фантаста Артура Порджеса (поэтому и сумма контракта названа в долларах, а раскладка клавиатуры qwerty).

Доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом. Если бы Сатана знал о том, что теорема будет доказана, изменило ли это финал фильма?…

Издание 1670 года «Арифметики» Диофанта включает комментарий Ферма

Спрашивать ВольфрамАльфу следует на английском. Хотя некоторые вопросы она понимает и на русском: вот спросите ее, что такое число (вопрос, конечно, философский). Но лучше выучить два-три десятка английских слов — и легко, и полезно. Кому тяжело и неполезно, но надо — скачайте сокращенный перевод запросов, касающихся математики:

Скачать

Краткий справочник математических запросов WolframAlpha на русском языке: Яндекс-Диск

---

Перечислим основные запросы.

Построение графиков

График функции одной переменной: plot x^3 - 6x^2 + 4x + 12 [запрос]

Система выдаст график сразу в двух специально подобранных для каждой функции масштабах — можно и поближе рассмотреть, и с высоты орлиного полета.

Несколько функций в одной системе координат: plot sin x, cos x, tan x [запрос]

График функции двух переменных: plot sin x cos y [запрос]

Впрочем, трехмерные графики google строит эффектнее. Еще пример.

Можно попросить решить неравенство: plot |x|^3+|y|^3 < 1

Рядом с каждым графиком и таблицей есть набор кнопок, большая часть которых не работает в бесплатном аккаунте. Кнопка «Copyable plaintext» работает и позволяет скопировать код на языке Wolfram Language. Этот код можно затем использовать в системе Matematica.

Площадь фигуры, ограниченной линиями

Запрос area between y=|x|, y=x^2-6

Алгебра

Решить уравнение: solve x^2 + 4x + 6 = 0

Решить систему: x+y=10, x-y=4

Решить уравнение в целых числах: solve 3x+4y=5 over the integers

Разложение многочлена на множители: factor 2x^5-19x^4+58x^3-67x^2+56x-48

Раскрыть скобки: expand (x+1)^3

Упростить выражение: simplify cos(arcsin(x)/2)

Функции

Область определения: domain of f(x,y) = log(1-(x^2+y^2))

Область значений: range of 1/sqrt(x^2+1) restricted to 1 < x < 4

Период функции: period y=sin(x)*cos(3x)

Четность функции: is sin(x+pi/4)+cos(x+pi/4) an even function?

Предел функции: Limit[Sin[x]/x, x -> 0]

Первая производная по переменной x: D[x^3*E^x, {x,1}]

Вторая производная по переменной x: D[x^3*E^x, {x,2}]

Интеграл: Integrate Log[x^3+1]/x^5, x=1..Infinity

Минимумы: minimize x^4-x

Максимумы: maximize x(1-x)e^x

Числа

Если ввести число, например, 28, система выдает всё, что знает об этом числе — простое ли оно, разложение на простые множители, перевод в двоичную систему, запись римскими цифрами, разложение в сумму квадратов и прочее.

Последняя цифра числа: last digit of 9^9^9

Последняя ненулевая цифра числа: last nonzero digit of 178,000!

Цепные дроби: continued fraction 12/67

Число прописью: write out 10^39

Выдать 200 цифр числа пи (или другой константы): pi to 200 digits

Отобразить число или интервал на числовой оси: interval [-sqrt(5), 1+sqrt(5)]

Выдать все простые числа, меньшие 100: primes

Простое число, ближайшее к указанному: prime closest to 169743212304

Миллионное простое число: 1,000,000th prime

Разложить на простые множители: factor 70560

Показать все делители числа: divisors 3600

Геометрия

Треугольник с указанными сторонами: triangle 5, 12, 13

Окружность, вписанная в треугольник: incircle of triangle 13,14,15

Окружность: circle, diameter=10

Шестиугольник: hexagon, perimeter=100

Правильный n-угольник (полигон): 19-gon

Последовательности

Предел последовательности: limit (1+1/n)^n, n->infinity

Суммы: 3+12+27+...+300

Произведения: 2 * 4 * 6 * ... * 36

Пытается распознавать последовательности, выдает формулу: 1, 4, 9, 16, 25, ...

Рекуррентную формулу преобразовать в обычную: g(0)=1, g(n+1)=n^2+g(n)

И много всякого разного умеет Wolfram Alpha, это, конечно, малая толика.

Подготовка к ВНО

«Умение ставить правильные вопросы есть уже важный и необходимый признак ума или проницательности. Если вопрос сам по себе бессмыслен и требует бесполезных ответов, то, кроме стыда для вопрошающего, он имеет иногда еще тот недостаток, что побуждает неосмотрительного слушателя к нелепым ответам и создает смешное зрелище: один (по выражению древних) доит козла, а другой держит под ним решето.» — писал великий немецкий философ Иммануил Кант.

В качестве иллюстрации возможностей Wolfram|Alpha решим 11-й вариант из сборника заданий для подготовки итоговых контрольных работ, 11 класс, автор Гончаренко С.В. (Ранок, 2015) [1, 2, 3]

---

1. Сколько процентов составляет число 9 от числа 45?
Запрос: what percentage 9 of 45

Ответ: Г) 20%

---

2. Представить выражение в виде степени
Запрос: x^5 x^3

Заодно функция была проинтегрирована, продифференцирована, построен график, определена четность функции, область определения, область значений и т.д. Хотя нам пока это не надо, возьмем на заметку.
Ответ: Г) x^8

---

3. При каком значении переменной выражение не имеет смысла
Запрос: domain (2a-2)/(3a+9)

Ответ: Г) -3

---

4. Известно, что m < n. Указать правильное неравенство. Начинаем проверять варианты.
А) запрос m/7 > n/7, выдал альтернативную форму m > n. Значит, не то.
Б) запрос m+10 > n+10, выдал альтернативную форму m > n. Значит, снова не то.
В) запрос -2m< -2n, выдал сразу две альтернативные формы m > n и n < m. Что характерно, обе не подходят.
Значит, ответ Г) 1-4m > 1-4n, даже и проверять не будем. Хотя подозрительно — четыре раза подряд ответ Г).

---

5. Вынести множитель из-под знака корня
Запрос: (16c^4d^5)^(1/3)
Результат немного обескураживает, так как переменная c проинтерпретирована как скорость света.

Не вдаваясь в физический смысл дня в пятой степени, уточним запрос, кликнув по ссылке Use «c» as a variable instead:

Это уже ближе к истине, однако такого ответа в вариантах ответов нет. Листаем дальше — несколько удивительных трехмерных графиков, разложения в ряды и прочее. Но ничего похожего на ответ. Незачет. Добавление слова factor — то бишь разложить на множители — делу не помогло.

---

6. Указать неравенство, множеством решений которого является (1; +∞).

А) Запрос: solve 5^x<5
Выдал много интересного, в том числе и решение: x < 1.
Попросим выдать интервал, запрос: interval x<1
Ответ (-∞, 1) — не подходит.
Б) Запрос: interval solve 5^x>1. Ответ (0, ∞) — снова мимо

В) Запрос: interval (1/3)^x<3^(-1) — оно.
Ответ: В)

---

7. Указать общий вид первообразной
Запрос: integral 3+4x^3 или primitive 3+4x^3
Ответ: Г) 3x + x^4 + C

---

8. Один из смежных углов в 4 раза больше второго. Определить градусную меру большего из углов.
Запрос: x+x/4=180
Ответ: В) 144

---

9. Найдите сумму углов правильного восьмиугольника.
Запрос: 8-gon

Ответ: В) 1080

---

10. На рисунке изображен куб. Указать скрещивающиеся прямые.
Ну это совсем уж на знание определения, пропускаем. Хотя по запросу cube выдается информация о фильме Куб, можно почитать.

---

11. Найти площадь осевого сечения цилиндра, высота которого равна 3 см, а радиус основания — 5 см.
Запрос: axial section of cylinder, h=3, r=5

В выдаче много познавательного, но про осевое сечение — ни слова.
Похоже, фраза:

Wolfram|Alpha знает очень о многом. Тысячи областей знаний и квинтильоны частичек данных покрывают поистине огромную область имеющихся у человечества знаний.

- небольшое художественное преувеличение.

Решение элементарно 3*10=30.
Ответ: Б)

---

12. Найти скалярное произведение векторов (3; -2;4) и (-5;1;3)
(да, вот такие простые задания нынче дают выпускникам школ)
Запрос: scalar product (3,-2,4) and (-5,1,3)
Ответ: В) -5

---

13. Найти площадь кругового сектора
Запрос: area of sector, angle=225, r=8
Ответ: 40 пи, остальные площади считать не буду, не интересно.

---

14. Доказать, что для всех вещественных x выполняется неравенство
Запрос: (1-2x)^2+4(x+3)(3-x)>2(13-2x)
Система услужливо сообщает, что это правда. Для доказательства раскроем скобки в левой части. Запрос: expand (1-2x)^2+4(x+3)(3-x)
и кликнем по кнопке Step-by-step solution

Начало расшифровки впечатляет повышенной детализацией, но списать получится только за денежку:

Платный аккаунт стоит около $7 в месяц (дороговато для системы, которая не слышала об осевых сечениях цилиндра), для студентов скидки. Платная подписка дает и другие расширенные возможности — можно загружать файлы для анализа, сохранять графики и таблицы в pdf, дополнительное процессорное время и т.д. Бесплатная регистрация в свою очередь позволяет добавлять запросы в фавориты, просматривать историю своих запросов.

---

15. Представить в виде произведения:
Запрос: sin a + sin 5a + 2 sin 3a
Ну, это просто — выбираем ту альтернативную форму, которая понравилась.

---

16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=5/x, y = 5, x = e.
Запрос: area between y=5/x, y = 5, x = e

Ответ: 5(e-2)

---

17. Решить уравнение
Запрос: solve sqrt(x^2+11)=x-1

Ответ: нет решений

Графики симпатичные, тем не менее, гложат сомнения насчет точки пересечения оных где-то в окрестности плюс бесконечности… Хотелось бы получить ход решения. Кнопка Step-by-step отсутствует напрочь, хотя если убрать в запросе слово ‘solve’ — кнопка появляется (странно это). Впрочем, в бесплатном аккаунте от нее толку нет. Прибегнем к помощи русско-говорящей поисковой системы Нигма-математика:
Запрос: корень из (x^2+11)=x-1

Видимо, застеснявшись того обстоятельства, что решение не нашлось, Нигма не показала ход решения (вдруг неправильное?). Хотя оно правильное.
Еще одна попытка — задействуем сайт SymboLab:

Решение настолько подробно, насколько это возможно, и включает в себя проверку найденного корня подстановкой в исходное уравнение.
Помимо уравнений с корнями, этот сайт умеет решать уравнения с модулем, показательные, логарифмические, тригонометрические и даже квадратные уравнения. Также строит графики функций. Неравенство из задачи 14 здесь доказано с подробными пояснениями.

---

18. Найти производную
Запрос: 3^(2x)+log_3(-3x)

Обратите внимание на нотацию: log без указания основания означает натуральный логарифм, который также принято обозначать ln.
Запрос: D[3^(2x)+log_3(-3x)] выдает почему-то ответ в другой форме:

Неискушенный ученик может и не сообразить, что это одно и то же. Снова обратимся за разъяснениями к другому сайту. Хотя SymboLab легко взял эту производную, на этот раз воспользуемся услугами Online Derivative Calculator:

Этот калькулятор умеет считать только производные, но делает это с блеском — не только дает подробные пояснения, какое правило и как именно было использовано, но и подсвечивает разными цветами соответствующие части выражения при наведении курсора мыши. Оставив в стороне дискуссию на тему, бывает ли логарифм от -3, который вы видите на скриншоте, перейдем к последней задаче.

---

19. Речь идет о прямоугольном треугольнике. NK параллелен катету BC и проходит через середину гипотенузы. NC=10, BC=12.

Запрос 1: right triangle c=10, a=6
дает 8 — половину катета AB

Запрос 2: area right triangle a=12, b=16
дает искомую площадь: 96.

Вывод: система Wolfram|Alpha вполне может заменить решебники и шпаргалки, но не голову. Википедию и гугл тоже пока не отменили.

API. Виджеты

Для разработчиков предоставляется API. Бесплатно — до 2000 запросов в месяц, вполне достаточно для использования в некоммерческих целях и для самообразования. Есть масса готовых виджетов для вставки на свой сайт.
Вот, к примеру, преполезнейший виджет, который вычисляет скорость, приобретенную телом в результате свободного падения:

(Для просмотра необходимо авторизоваться)

Полезные ссылки

Свод ссылок на сайты, упомянутые и не упомянутые в этой статье:

• WolframAlpha
• Виджеты WolframAlpha
• Синтаксис Wolfram Alpha — Викиучебник
• Symbolab Math Solver — Step by Step calculator — решатель с детализацией решения
• Нигма-Математика
• Wolfram|Alpha по-русски
• Форум русскоязычной поддержки Wolfram Mathematica
• WolframAlpha Blog
• WolframAlpha API — API для разработчиков
• Канал WolframAlpha на youtube
• Online Derivative Calculator — калькулятор производных с детализацией решения
• Online Integral Calculator — калькулятор интегралов с детализацией решения
• Wolfram-alpha Questions on Stack Exchange
• Desmos Graphing Calculator — великолепный построитель графиков
• Краткий справочник WolframAlpha (рус)