Избавимся от бесконечных корней:

Золотое сечение φ или золотое число  — среднее арифметическое 1 и корня из 5.

Портретик:

Представление в виде непрерывной дроби:

приводит к тому же квадратному уравнению.

Обратная величина:

φ — единственное число, которое, будучи прибавленным к 1, дает обратное себе число:
1 + 0,618 = 1 : 0,618.
Это родство операций сложения и умножения приводит к:

Золотое сечение возникает в математике довольно часто.

Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи — это последовательность, в которой первые два числа равны 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Названа эта последовательность в честь Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи. В своем труде «Liber Abaci» (1202) Фибоначчи исследовал развитие популяции кроликов, предполагая, что изначально есть пара кроликов; со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов. Сколько пар кроликов будет через год?

В конце n-го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количество новорожденных пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад. Таким образом:

Рассмотрим последовательность отношений следующего числа Фибоначчи к предыдущему:
1:1 = 1
2:1 = 2
3:2 = 1.5
5:3 = 1,666…
8:5 = 1,6
13:8 = 1,625
21:13 = 1,615…
34:21 = 1,619…
55:34 = 1,6176…
89:55 = 1,61818…
144:89 = 1,617977…
233:144 = 1,61805…

Отношения чисел Фибоначчи все ближе и ближе подходят к золотому сечению, но никогда не достигают его. Значит, любое число Фибоначчи примерно равно золотому числу, умноженному на предыдущее число Фибоначчи.

Если в качестве отправной точки выбрать любые другие числа, в том числе дробные и отрицательные, например, 1 и 100000, то последовательность чисел, разумеется, изменится, а вот отношения между членами останутся неизменными, стремящимися к золотому сечению.

Как мы получили выше, последовательность степеней золотого сечения также подчиняется правилу Фибоначчи.

n-е число Фибоначчи есть ближайшее к целое число.

Отсюда, если мы знаем, что F — это число Фибоначчи, то можем определить его номер по формуле:

Проявления в природе

…Отношение числа 0,618034 к 1 является математической основой формы игральных карт и Парфенона, подсолнуха и морской раковины, греческих ваз и спиральных галактик внешнего космоса. В основании очень многих произведений искусства и архитектуры греков лежит эта пропорция. Они называли ее «золотая середина».

Плодовитые кролики Фибоначчи выскакивают в самых неожиданных местах.
Золотое сечение проявляется в таких различных явлениях, как рост кристаллов, преломление светового луча в стекле, строение мозга и нервной системы, музыкальные построения, структура растений и животных.

Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса располагаются согласно последовательности Фибоначчи.

Семена подсолнуха растут по спирали одновременно в двух направлениях — по и против часовой стрелки, от центра цветка наружу.

Эти числа создают приятную для человеческого глаза рисунок или структуру, поэтому часто используются в архитектуре, дизайне.

Божественная пропорция

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей.

Если меньшую часть отрезка взять равной 1, то отношение большей части к меньшей равно , и наоборот, отношение меньшей части к большей равно .

В процентном округлённом значении — это деление величины на 62% и 38%.

В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. На рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны φ​​​. Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно φ.

Золотое сечение в архитектуре

Если взять строение, например, храм, построенный по принципу золотого сечения, то при его высоте скажем 10 метров, высота барабана с куполом будут равны 3,82 см, а высота основания строения будет 6,18 см.

Одно из выдающихся строений, выполненных по принципу золотого сечения – Смольный Собор в Питере. К собору ведут по краям две дорожки, и если приближаться по ним к собору, то тот будто приподнимается в воздухе.

Храм Василия Блаженного — тоже соблюден принцип Золотого сечения.

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Золотое сечение и зрительные центры

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения».

Любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре — спирали.

Золотой прямоугольник и спираль

Золотой прямоугольник — прямоугольник, отношение сторон которого равно φ: это книги, открытки, плитки шоколада, монитор компьютера, экран телевизора, бумажник и множество других предметов.

Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат, то получится снова золотой прямоугольник.

Построение золотого прямоугольника: построить квадрат стороной 1, разделить на два равных прямоугольника, провести диагональ.

Если построить прямоугольник со сторонами, соотношение которых будет равно пропорции золотого сечения, и вписать в него ещё один «золотой прямоугольник», в тот — ещё один, и так до бесконечности внутрь и наружу, то по угловым точкам прямоугольников можно провести спираль. Интересно то, что такая спираль совпадёт со срезом раковины наутилуса, а также другими встречающимися в природе спиралями.

Литовская монета:

Циклон над Исландией имеет спиральную структуру:

Пропорции человеческого тела

Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.

В теле человека отношение длины предплечья к длине руки равно 1.618, т.е. золотому сечению.

Идеальные пропорции тела человека, рисунок из Манасары:

Важной характеристикой золотого сечения является динамичность и стремление к разворачиванию.

Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

Калькуляторы золотого сечения

Фикулятор
Калькулятор золотого сечения лица
Golden Ratio
Type Scale
Modular Scale

Перепишем неравенство в эквивалентной форме:

Теперь понятно, что нужно выяснить поведение функции

Используя логарифмическое дифференцирование, найдем производную:

Функция возрастает если 0 > x > e и убывает если x < e, точка x = e - точка максимума.
Прямая y = 1 - горизонтальная асимптота.

Поэтому для любого x > e выполняется неравенство

1 случай. Для e <= a < b выполняется > , например,
2 случай. Для 0 < a < b <= e выполняется < , например,
3 случай. Для 0 < a < 1 < b, < поскольку < 1 и 1 < .
4 случай. Для 1 < a < e < b нельзя сделать общий вывод, например,

Трансцендентное число называется постоянной Гельфонда

Трудно заподозрить число пи в ложной скромности — оно и здесь в центре композиции.

Константу Гельфонда можно вычислить по рекуррентной формуле, в которую включаются только единица, двойка и основные арифметические действия. Сходимость очень быстрая:

var
k0, k, x: Extended;
n: Integer;
begin
k0 := 1 / sqrt(2);
for n := 1 to 100 do begin
k := sqrt(1 - sqr(k0));
k := (1 - k) / (1 + k);
if Abs(k) <= MinExtended then
Break;
x := Power(2, 1 - n);
x := Power(4 / k, x);
k0 := k;
Memo1.Lines.Add(Format('n = %d, x = %0.12f', [n, x]));
end;
end;


Возьмем школьное определение множества натуральных чисел.

Что волнует гуманитария в первую (и как правило единственную) очередь? Его волнует вопрос:
Если у меня есть что-то, как я могу это использовать?
Правильно, есть и более животрепещущий вопрос: если у меня чего-то нет, как я могу это отнять у другого?

Но вернемся к строгому математическому определению:

Множество натуральных чисел — это наименьшее индуктивное множество, содержащее 1.

Для понимания этого определения необходимо проделать предварительную работу — ввести понятие индуктивного множества; определить, как в наборе бесконечных множеств выбрать наименьшее и т.д. Строгое определение сразу же вознаграждает ученика за усилия, наделяя натуральные числа всеми свойствами индуктивных множеств и позволяя использовать наработки теории множеств.
Школьное определение не требует от ученика никаких усилий и не дает ничего для дальнейших логических построений.

Другой пример — пресловутое ОДЗ, которое есть во всех школьных учебниках и которого нет в википедии. Логика проста — есть уравнение, надо его решить. Есть набор тождественных преобразований, применяя которые решение удается получить не всегда. Ладно, говорят составители учебников, давайте добавим нетождественные преобразования, не все, конечно, а только те, которые расширяют ОДЗ уравнения. Проблема — могут появиться «лишние» корни. Ничего, потом отбросим корни, которые не удовлетворяют исходному уравнению. Так возникает школьное понятие Проверка и одновременно появляется новая проблема — что делать, если корней бесконечно много: не напроверяешься.

Допустим, неизвестная величина в знаменателе, но мы же не умеем делить на ноль — выкидываем те значения, которые приводят к делению на ноль. А еще мы не умеем извлекать квадратные корни из отрицательных чисел — выкидываем. Аналогично с логарифмами и всеми другими вещами, которые не поместились в школьный курс математики. То, что осталось после выкидывания всего, что мы не успели или не сумели объяснить, и называется Областью Допустимых Значений.

В русском языке падежей больше чем шесть, но если закончить среднюю школу и не заниматься самообразованием, можно так и умереть в неведении. Не то чтобы жизненно необходимо изучать все 13 падежей в школе, но упомянуть об их существовании было бы можно.

В начальной школе детей учат читать слова, как только они освоили несколько букв алфавита. Но это же не повод выделить эти первые буквы в отдельную категорию. Тем более заявлять, что кроме этих букв нет ничего.

Если комплексный анализ не входит в школьную программу, значит, корней из отрицательных чисел не существует. Хотя в американских учебниках глава, посвященная комплексным числам, есть. И коническим сечениям. Зато нет гомотетии и тридцати формул тригонометрии.

Оказывается, можно закончить школу и не знать что значит слово эллипс.
Не определение, а вот просто:
- Нарисуй эллипс.
- А что это?

Год за годом дети изучали окружность, параболу, гиперболу, потом не изучали эллипс, и вот пришло время магии — ребята, это же одно и тоже, нужно только найти правильную точку зрения! но нет, праздника не будет, давайте сократим часы на изучение математики, гуманитарии опять победили.

---

(1) Снобизм – подчеркнутая гордость своей принадлежностью к определенному кругу общества, воспринимаемому как особый и лучший, и ревниво блюдущему свою чистоту (несмешиваемость с окружающим миром).
(2) Множество A называется индуктивным, если для любого a ∈ A элемент a + 1 также принадлежит множеству A.
(3) Пересечение множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.
(4) Множеством натуральных чисел называется пересечение всех индуктивных множеств, содержащих 1.