Все четыре треугольника — прямоугольные.
Гипотенуза желтого треугольника по теореме Пифагора равна корню из 5.
Гипотенуза зеленого треугольника тоже равна корню из 5 (это потому что зеленый и желтый треугольники равны).
Гипотенуза синего треугольника равна корню из 10.
Проверяем выполняется ли теорема Пифагора для белого треугольника: 5+5=10, значит, белый треугольник тоже прямоугольный и заодно равнобедренный.
Такая конструкция из трех прямоугольных треугольников ABCF называется трапецией Гарфилда. Джеймс Гарфилд (1831–1881):

Джеймс Гарфилд был одним из самых незаурядных президентов США.
В юности он успел побывать боцманом и плотником, позже работал адвокатом, учителем, директором одного из высших учебных заведений. Он придумал и опубликовал своё доказательство теоремы Пифагора.

Вспоминаем, что тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Значит,
tg ∠EFC = 1
tg ∠AFE = 2
tg ∠DFC = 3
В сумме эти углы составляют развернутый угол, отсюда:

Сравните с доказательством этой формулы, опубликованным на math.stackexchange.com.
 

Представим аналогичным образом угол C как сумму трех углов и получим:

И теперь представим угол EFC как сумму двух углов:

Трапецию Гарфилда можно применить для вывода формулы синуса и косинуса суммы углов.

Примем гипотенузу серого треугольника равной 1. Распишем катеты используя определения синуса и косинуса.

Вот и все, осталось списать формулы с рисунка:

И еще две формулы получим элементарной заменой угла β на -β:

Добавим в копилку еще четыре тригонометрические формулы, которые учить не надо — в любой момент вы их восстановите за одну минуту с помощью трапеции Гарфилда.

Домашнее задание. Получить с помощью трапеции Гарфилда формулы для тангенса суммы и разности двух углов.

 

---

 

Доказательство Гарфилда теоремы Пифагора на с. 161 журнала New-England Journal of Education, апрель 1876:

Обратите внимание на нотацию: вместо скобок черта над выражением.

Продолжение следует…

Обозначим вписанный угол x, тогда центральный угол составит 2x.
Используя определения синуса и косинуса, найдем катеты большого треугольника — это произведение гипотенузы (она равна 2) на синус угла x для противолежащего катета и на косинус угла x для прилежащего катета.
Все эти факты отображены на рисунке, набросать который не потребует ни усилий, ни времени.

Дополняем рисунок:

А теперь просто списываем формулы с рисунка.
Фокусируемся на светло-сером треугольнике — противолежащий катет равен произведению синуса угла на гипотенузу:

Снова смотрим на светло-серый треугольник — прилежащий катет равен произведению косинуса угла на гипотенузу:

Отсюда мгновенно с использованием основного тригонометрического тождества получаем еще три формулы:

Формула для тангенса получается делением на квадрат косинуса:

Из формул двойного угла элементарно получаются формулы половинного угла:

Способ 2

Разовьем успех. Построим прямоугольный треугольник с острым углом x и гипотенузой, равной 1 (на рисунке белый); затем на катетах построим два голубых прямоугольных треугольника, тоже с углами, равными x; серый треугольник получится сам собой:

Белый и голубые треугольники образуют фигуру, которая называется трапецией Гарфилда.

Поступим аналогично: распишем длины катетов через синус и косинус угла x. А теперь приравниваем верхнюю формулу нижней, а левую — правой:

Получили формулы двойного угла без единой выкладки, используя только определения синуса и косинуса.

Выводы

Итак, из курса тригонометрии необходимо запомнить:

1) определение синуса, косинуса, тангенса;
2) ОТТ — основное тригонометрическое тождество, которое представляет собой теорему Пифагора, записанную в терминах синуса и косинуса:

Десятки тригонометрических формул можно не учить и не выводить, а реконструировать при необходимости по рисунку.

Продолжение следует…

Здесь a — параметр, который можно изменять мышкой с помощью слайдера:

Кнопка слева от параметра включает анимацию.

Можно ввести несколько выражений (уравнений или неравенств), графики будут построены в одной системе координат.

А вот график в полярной системе координат:

Desmos умеет работать со списками, что позволяет одним кликом строить семейства функций:

Собственного поиска на сайте нет, поэтому для поиска среди опубликованных материалов используйте запрос google или яндекс вида «что искать site:desmos.com».

Решим графически неравенство:

Как построить график по точкам? Добавляем таблицу и вводим координаты точек, затем соединяем точки линией.

График параметрического уравнения:

Живой график можно встроить на любой сайт или форум. Попробуйте подвигать точку:

Как вставить график на свой сайт:
на верхнем тулбаре есть кнопка Поделиться (Share graph) — она дает ссылку на график и три варианта — печать, embed и image.
* Печать — послать график в черно-белом варианте на принтер
* Export image — открывает картинку в новой вкладке, после чего ее можно сохранить, распечатать или скопировать адрес статичной картинки для вставки на сайт или документ. Есть выбор толщины линий.
* embed — генерирует html-код, который вставляет картинку 200×200 со ссылкой на график на сайте desmos или BBCode (форум должен поддерживать desmos)

Надписи. При добавлении точки в список выражений, например (2,3), вы автоматически добавляете возможность добавить надпись. Нужно установить чекбокс «Метка (Show Label)».
Если указать текст — он будет отображаться рядом с точкой.
Если текст не указывать, то по умолчанию будут отображаться координаты точки.
Можно выбрать один из трех размеров надписи.

Создание динамических надписей (Dynamic Labels). Допустим, вы уже создали два параметра m и b. Теперь напечатайте ${m} или ${b} в любом поле ввода текста надписи. Вместо переменных будет показано числовое значение этих переменных. При изменении переменных надпись будет автоматически обновляться. Можно комбинировать переменные с текстом: y = ${m}x + ${b}.

Обратные кавычки в надписях используются как признак математического текста:

Данный сервис с успехом может применяться преподавателями как наглядное пособие при объяснении материала.

На сайте размещено руководство пользователя, перевод которого на русский язык давно не обновлялся. Предлагаем новый перевод руководства, в котором более подробно рассказано о параметрах, таблицах, списках, регрессиях.

Скачать руководство пользователя Desmos, перевод на русский язык от Knitting Club:

Скачать руководство — pcloud
Скачать руководство — ЯндексДиск

Обновление (апрель 2018). В графический калькулятор Desmos добавлена новая команда polygon — многоугольник:

Многоугольник может быть закрашенным и незакрашенным, с контуром или без контура. Можно настроить способ отображения вершин, или сделать их перетаскиваемыми:

Ссылки по теме

Канал desmos на youtube

Daily Desmos — графические загадки. Еженедельно публикуется некий график, задача — найти уравнения для воспроизведения графика. При этом не используются сложные функции, такие как гиперболический секанс, а нужно подобрать изящную комбинацию элементарных функций.

teacher.desmos.com — сервис для учителей, множество готовых заданий, можно создавать свои задания. Для выполнения работы ученики получают код доступа к заданию, учитель в личном кабинете видит результаты каждого ученика, и может давать индивидуальные подсказки или же пояснения для всего класса.

Научный калькулятор от Desmos

Dynamic and Dynamite Desmos Demos — большое количество примеров