Трапеция Гарфилда и число пи
Возьмем конструкцию из второй части заметки про формулы двойного угла и получим с ее помощью несколько красивых формул для числа пи.
Разобьем прямоугольник на клеточки 2 х 3 и впишем треугольник следующим образом:
Все четыре треугольника — прямоугольные.
Гипотенуза желтого треугольника по теореме Пифагора равна корню из 5.
Гипотенуза зеленого треугольника тоже равна корню из 5 (это потому что зеленый и желтый треугольники равны).
Гипотенуза синего треугольника равна корню из 10.
Проверяем выполняется ли теорема Пифагора для белого треугольника: 5+5=10, значит, белый треугольник тоже прямоугольный и заодно равнобедренный.
Такая конструкция из трех прямоугольных треугольников ABCF называется трапецией Гарфилда. Джеймс Гарфилд (1831–1881):
В юности он успел побывать боцманом и плотником, позже работал адвокатом, учителем, директором одного из высших учебных заведений. Он придумал и опубликовал своё доказательство теоремы Пифагора.
Вспоминаем, что тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Значит,
tg ∠EFC = 1
tg ∠AFE = 2
tg ∠DFC = 3
В сумме эти углы составляют развернутый угол, отсюда:
Сравните с доказательством этой формулы, опубликованным на math.stackexchange.com.
Представим аналогичным образом угол C как сумму трех углов и получим:
И теперь представим угол EFC как сумму двух углов:
Трапецию Гарфилда можно применить для вывода формулы синуса и косинуса суммы углов.
Примем гипотенузу серого треугольника равной 1. Распишем катеты используя определения синуса и косинуса.
Вот и все, осталось списать формулы с рисунка:
И еще две формулы получим элементарной заменой угла β на -β:
Добавим в копилку еще четыре тригонометрические формулы, которые учить не надо — в любой момент вы их восстановите за одну минуту с помощью трапеции Гарфилда.
Домашнее задание. Получить с помощью трапеции Гарфилда формулы для тангенса суммы и разности двух углов.
Доказательство Гарфилда теоремы Пифагора на с. 161 журнала New-England Journal of Education, апрель 1876:
Обратите внимание на нотацию: вместо скобок черта над выражением.
Формулы двойного угла и трапеция Гарфилда
Количество тригонометрических формул в школьном курсе математики поражает воображение. Нужно ли все их учить наизусть? Нет, не нужно — в (почти) любой момент мы можем заглянуть в википедию или справочник. Однако есть пара-тройка ситуаций, когда интернета под рукой нет — это необитаемый остров и экзамен. Сегодня рассказ о том, как получить формулы двойного угла в такой экстремальной ситуации, каковой является отсутствие интернета, не пользуясь шпаргалками и подсказками соседей.
Способ 1
Вспомним, какие углы отличаются в два раза — верно, центральный угол ровно в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Учитывая, что тригонометрические функции определяются для единичной окружности, изобразим эти углы следующим образом:
Обозначим вписанный угол x, тогда центральный угол составит 2x.
Используя определения синуса и косинуса, найдем катеты большого треугольника — это произведение гипотенузы (она равна 2) на синус угла x для противолежащего катета и на косинус угла x для прилежащего катета.
Все эти факты отображены на рисунке, набросать который не потребует ни усилий, ни времени.
Дополняем рисунок:
А теперь просто списываем формулы с рисунка.
Фокусируемся на светло-сером треугольнике — противолежащий катет равен произведению синуса угла на гипотенузу:
Снова смотрим на светло-серый треугольник — прилежащий катет равен произведению косинуса угла на гипотенузу:
Отсюда мгновенно с использованием основного тригонометрического тождества получаем еще три формулы:
Формула для тангенса получается делением на квадрат косинуса:
Из формул двойного угла элементарно получаются формулы половинного угла:
Способ 2
Разовьем успех. Построим прямоугольный треугольник с острым углом x и гипотенузой, равной 1 (на рисунке белый); затем на катетах построим два голубых прямоугольных треугольника, тоже с углами, равными x; серый треугольник получится сам собой:
Белый и голубые треугольники образуют фигуру, которая называется трапецией Гарфилда.
Поступим аналогично: распишем длины катетов через синус и косинус угла x. А теперь приравниваем верхнюю формулу нижней, а левую — правой:
Получили формулы двойного угла без единой выкладки, используя только определения синуса и косинуса.
Выводы
Итак, из курса тригонометрии необходимо запомнить:
1) определение синуса, косинуса, тангенса;
2) ОТТ — основное тригонометрическое тождество, которое представляет собой теорему Пифагора, записанную в терминах синуса и косинуса:
Десятки тригонометрических формул можно не учить и не выводить, а реконструировать при необходимости по рисунку.
Банстед / Banstead
Источник: Knitting Plus — Mastering Fit, Interweave Knits, Summer 2011
Дизайнер: Lisa Shroyer (2011)
Вам потребуется: 900 – 1500 м пряжи Blue Sky Fibers Suri Merino (60% альпака, 40% меринос, 150 м / 100г), спицы 4.5 мм круговые и чулочные
Lace hem sweater
Рукав три четверти, круглый вырез.
Источник: Let’s Knit Magazine 116, March 2017
Дизайнер: Anniken Allis
Вам потребуется: пряжа Stories Fine Merino (50 г), спицы 3.5 мм
Desmos — построение графиков
Desmos — простой и мощный инструмент для построения графиков, онлайн графический калькулятор. Позволяет не только быстро нарисовать график функции по формуле, но отобразить табличные данные, изучить поведение функции при изменении параметров, решить систему уравнений или неравенств и многое другое.
Сайт: desmos.com (есть русский язык интерфейса)
Функция вписывается в левый столбец, а график моментально строится в правой части:
Здесь a — параметр, который можно изменять мышкой с помощью слайдера:
Кнопка слева от параметра включает анимацию.
Можно ввести несколько выражений (уравнений или неравенств), графики будут построены в одной системе координат.
А вот график в полярной системе координат:
Desmos умеет работать со списками, что позволяет одним кликом строить семейства функций:
Собственного поиска на сайте нет, поэтому для поиска среди опубликованных материалов используйте запрос google или яндекс вида «что искать site:desmos.com».
Решим графически неравенство:
Как построить график по точкам? Добавляем таблицу и вводим координаты точек, затем соединяем точки линией.
График параметрического уравнения:
Живой график можно встроить на любой сайт или форум. Попробуйте подвигать точку:
Как вставить график на свой сайт:
на верхнем тулбаре есть кнопка Поделиться (Share graph) — она дает ссылку на график и три варианта — печать, embed и image.
* Печать — послать график в черно-белом варианте на принтер
* Export image — открывает картинку в новой вкладке, после чего ее можно сохранить, распечатать или скопировать адрес статичной картинки для вставки на сайт или документ. Есть выбор толщины линий.
* embed — генерирует html-код, который вставляет картинку 200×200 со ссылкой на график на сайте desmos или BBCode (форум должен поддерживать desmos)
Надписи. При добавлении точки в список выражений, например (2,3), вы автоматически добавляете возможность добавить надпись. Нужно установить чекбокс «Метка (Show Label)».
Если указать текст — он будет отображаться рядом с точкой.
Если текст не указывать, то по умолчанию будут отображаться координаты точки.
Можно выбрать один из трех размеров надписи.
Создание динамических надписей (Dynamic Labels). Допустим, вы уже создали два параметра m и b. Теперь напечатайте ${m} или ${b} в любом поле ввода текста надписи. Вместо переменных будет показано числовое значение этих переменных. При изменении переменных надпись будет автоматически обновляться. Можно комбинировать переменные с текстом: y = ${m}x + ${b}.
Обратные кавычки в надписях используются как признак математического текста:
Данный сервис с успехом может применяться преподавателями как наглядное пособие при объяснении материала.
На сайте размещено руководство пользователя, перевод которого на русский язык давно не обновлялся. Предлагаем новый перевод руководства, в котором более подробно рассказано о параметрах, таблицах, списках, регрессиях.
Скачать руководство пользователя Desmos, перевод на русский язык от Knitting Club:
Скачать руководство — pcloud
Скачать руководство — ЯндексДиск
Обновление (апрель 2018). В графический калькулятор Desmos добавлена новая команда polygon — многоугольник:
Многоугольник может быть закрашенным и незакрашенным, с контуром или без контура. Можно настроить способ отображения вершин, или сделать их перетаскиваемыми:
Ссылки по теме
Пончо Анжелика Drops 170-25
Источник: Drops 170-25 Angelica (2016)
Knitting Plus — Mastering Fit
Knitting Plus: Mastering Fit + Plus-Size Style + 15 Projects
Посадка изделий большого размера
Дизайнер: Lisa Shroyer (2011)
Вытачки при поперечном вязании
