Шаль-топ Trifoglio Shawl

Далее… »





Источник: spring 2016 issue of Creative Knitting 
Дизайнер: Heather Zoppetti

Проект на Ravelry: Trifoglio Shawl

(Для просмотра необходимо авторизоваться)
ERRATA:
Chart 1, Row 18 should read like this:
K1, k2tog, yo, k5, yo, s3k2p, yo, k5, yo, ssk.

Доступ к переводам

Если вы испытываете сложности при скачивании файлов с Яндекс-Диска,
попробуйте один из следующих вариантов решения этой проблемы.
1) Установить последнюю версию браузера Опера, в настройках включить VPN


Опера предоставляет бесплатный и безлимитный встроенный VPN.
В адресной строке сразу появится иконка VPN:

Далее… »

2) Установить Яндекс-Браузер и включить режим турбо.
3) Также можно установить OpenVPN, подробные инструкции по настройке вы найдете в интернете по запросу «zaborona.help».

Звезды в ажуре

Коварство графического метода

Решим графически уравнение, используя Desmos:


Слева от знака равенства — показательная функция с основанием, меньшим 1, значит, функция убывающая (зеленый график). Справа от знака равенства — логарифмическая функция, также убывающая (синий график).

Далее… »

На первый взгляд, графики имеют одну точку пересечения, и из соображений симметрии она лежит на прямой y=x.

Не будем спешить с выводами. Увеличим область в районе точки пересечения:

Desmos почему-то выделил три точки. Сделаем еще крупнее:

Оказывается, синий график, прежде чем уйти ниже зеленого графика, делает почти незаметный финт ушами, тем самым добавляя еще две точки перечения — x=0,5 и x=0,25. Подстановкой можно убедиться, что это точные корни нашего уравнения.

Заменим в уравнении 1/16 на 1/256 — разрыв между кривыми увеличился, три точки пересечения хорошо видны:

Для сравнения уравнение с 1/2 вместо 1/16:


Как мы и предполагали вначале, только одна точка пересения. Качественный скачок во взаимном расположении кривых происходит, по всей видимости, где-то между 1/2 и 1/16 (примерно 0.0659855).

Вот как это уравнение решила WolframAlpha:


Точки пересечения любезно выделены.

Вывод: графический метод решения уравнений имеет ограничения, связанные с тем, что линии графиков не идеально тонкие и могут сливаться на определенном участке, и тем не менее, компьютерные построители графиков (а кто сейчас строит графики вручную) обладают достаточным интеллектом, чтобы выделить точки пересечения и не дать пользователю потерять существенные детали.

Более подробно это уравнение проанализировано в статье:
Сидоров Ю. Об одном замечательном уравнении. Журнал «Квант», 1990-05

Сплетенье цифр

Трапеция Гарфилда и числа Фибоначчи

Выберем произвольные положительные числа p и q, и положив один из катетов равным 1, построим следующую трапецию Гарфилда:

Далее… »

Очевидно, что

И поскольку , получаем тождество Эйлера для арктангенсов:


Когда p=q=1, получаем частный случай, который мы уже рассматривали в заметке про число пи:

Когда p=2, q=1, получаем

Подставляем в предыдущее тождество, получаем формулу Хаттона:

С помощью формулы Хаттона, в сочетании с разложением арктангенса в ряд, в 1847 году датский математик Томас Клаузен (Clausen) вычислил 248 знаков числа π (напомню, компьютеров тогда не было).

Обозначим Fn последовательность чисел Фибоначчи, F1=F2=1, Fn+1=Fn+Fn-1. Получим тождество:

Для доказательства принять p=F2n, q=F2n-1 в тождестве Эйлера и использовать тождество Кассини

Литература

Бревно или крокодил

Далее… »

память поколений

Трапеция Гарфилда и неравенства о среднем

Задача. Пусть c — длина гипотенузы прямоугольного треугольника, длины двух других сторон треугольника равны a и b.
Доказать, что

Когда выполняется равенство?
(Канадская математическая олимпиада, 1969, задача 3)

Далее… »

Рассмотрим трапецию Гарфилда такого вида:


Неравенство мгновенно доказано: верхняя сторона трапеции по теореме Пифагора равна и она не может быть меньше нижней стороны трапеции a+b. Равенство достигается, только если нижняя и верхняя стороны параллельны, то есть a=b.

Отсюда, кстати, следует, что для любого угла

Разделим обе части доказанного неравенства на 2 и вспомним, что , получим частный случай неравенства о средних:


Слева — среднее арифметическое, справа — среднее квадратичное двух чисел. Равенство достигается в случае равенства a и b.

Точно также без слов, опираясь только на теорему Пифагора, докажем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:


Если положить a=x, b=1/x, получим


Используя еще одну трапецию Гарфилда, это неравенство можно улучшить:

Продолжение следует…

Трапеция Гарфилда и число пи

Возьмем конструкцию из второй части заметки про формулы двойного угла и получим с ее помощью несколько красивых формул для числа пи.
Разобьем прямоугольник на клеточки 2 х 3 и впишем треугольник следующим образом:

Далее… »

Все четыре треугольника — прямоугольные.
Гипотенуза желтого треугольника по теореме Пифагора равна корню из 5.
Гипотенуза зеленого треугольника тоже равна корню из 5 (это потому что зеленый и желтый треугольники равны).
Гипотенуза синего треугольника равна корню из 10.
Проверяем выполняется ли теорема Пифагора для белого треугольника: 5+5=10, значит, белый треугольник тоже прямоугольный и заодно равнобедренный.
Такая конструкция из трех прямоугольных треугольников ABCF называется трапецией Гарфилда. Джеймс Гарфилд (1831–1881):


Джеймс Гарфилд был одним из самых незаурядных президентов США.
В юности он успел побывать боцманом и плотником, позже работал адвокатом, учителем, директором одного из высших учебных заведений. Он придумал и опубликовал своё доказательство теоремы Пифагора.

Вспоминаем, что тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Значит,
tg ∠EFC = 1
tg ∠AFE = 2
tg ∠DFC = 3
В сумме эти углы составляют развернутый угол, отсюда:

Сравните с доказательством этой формулы, опубликованным на math.stackexchange.com.
 

Представим аналогичным образом угол C как сумму трех углов и получим:

И теперь представим угол EFC как сумму двух углов:

Трапецию Гарфилда можно применить для вывода формулы синуса и косинуса суммы углов.


Примем гипотенузу серого треугольника равной 1. Распишем катеты используя определения синуса и косинуса.

Вот и все, осталось списать формулы с рисунка:

И еще две формулы получим элементарной заменой угла β на -β:

Добавим в копилку еще четыре тригонометрические формулы, которые учить не надо — в любой момент вы их восстановите за одну минуту с помощью трапеции Гарфилда.

Домашнее задание. Получить с помощью трапеции Гарфилда формулы для тангенса суммы и разности двух углов.

 


 

Доказательство Гарфилда теоремы Пифагора на с. 161 журнала New-England Journal of Education, апрель 1876:


Обратите внимание на нотацию: вместо скобок черта над выражением.

Продолжение следует…

Пуловер с цельновязанными рукавами

Далее… »


шнуровка
Источник: Сабрина 2017-05

Copyright © All Rights Reserved · Green Hope Theme by Sivan & schiy · Proudly powered by WordPress