Трапеция Гарфилда и числа Фибоначчи

Выберем произвольные положительные числа p и q, и положив один из катетов равным 1, построим следующую трапецию Гарфилда:

Далее… »

Очевидно, что

И поскольку , получаем тождество Эйлера для арктангенсов:


Когда p=q=1, получаем частный случай, который мы уже рассматривали в заметке про число пи:

Когда p=2, q=1, получаем

Подставляем в предыдущее тождество, получаем формулу Хаттона:

С помощью формулы Хаттона, в сочетании с разложением арктангенса в ряд, в 1847 году датский математик Томас Клаузен (Clausen) вычислил 248 знаков числа π (напомню, компьютеров тогда не было).

Обозначим Fn последовательность чисел Фибоначчи, F1=F2=1, Fn+1=Fn+Fn-1. Получим тождество:

Для доказательства принять p=F2n, q=F2n-1 в тождестве Эйлера и использовать тождество Кассини

Литература

Бревно или крокодил

Далее… »

память поколений

Трапеция Гарфилда и неравенства о среднем

Задача. Пусть c — длина гипотенузы прямоугольного треугольника, длины двух других сторон треугольника равны a и b.
Доказать, что

Когда выполняется равенство?
(Канадская математическая олимпиада, 1969, задача 3)

Далее… »

Рассмотрим трапецию Гарфилда такого вида:


Неравенство мгновенно доказано: верхняя сторона трапеции по теореме Пифагора равна и она не может быть меньше нижней стороны трапеции a+b. Равенство достигается, только если нижняя и верхняя стороны параллельны, то есть a=b.

Отсюда, кстати, следует, что для любого угла

Разделим обе части доказанного неравенства на 2 и вспомним, что , получим частный случай неравенства о средних:


Слева — среднее арифметическое, справа — среднее квадратичное двух чисел. Равенство достигается в случае равенства a и b.

Точно также без слов, опираясь только на теорему Пифагора, докажем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:


Если положить a=x, b=1/x, получим


Используя еще одну трапецию Гарфилда, это неравенство можно улучшить:

Продолжение следует…

Трапеция Гарфилда и число пи

Возьмем конструкцию из второй части заметки про формулы двойного угла и получим с ее помощью несколько красивых формул для числа пи.
Разобьем прямоугольник на клеточки 2 х 3 и впишем треугольник следующим образом:

Далее… »

Все четыре треугольника — прямоугольные.
Гипотенуза желтого треугольника по теореме Пифагора равна корню из 5.
Гипотенуза зеленого треугольника тоже равна корню из 5 (это потому что зеленый и желтый треугольники равны).
Гипотенуза синего треугольника равна корню из 10.
Проверяем выполняется ли теорема Пифагора для белого треугольника: 5+5=10, значит, белый треугольник тоже прямоугольный и заодно равнобедренный.
Такая конструкция из трех прямоугольных треугольников ABCF называется трапецией Гарфилда. Джеймс Гарфилд (1831–1881):


Джеймс Гарфилд был одним из самых незаурядных президентов США.
В юности он успел побывать боцманом и плотником, позже работал адвокатом, учителем, директором одного из высших учебных заведений. Он придумал и опубликовал своё доказательство теоремы Пифагора.

Вспоминаем, что тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Значит,
tg ∠EFC = 1
tg ∠AFE = 2
tg ∠DFC = 3
В сумме эти углы составляют развернутый угол, отсюда:

Сравните с доказательством этой формулы, опубликованным на math.stackexchange.com.
 

Представим аналогичным образом угол C как сумму трех углов и получим:

И теперь представим угол EFC как сумму двух углов:

Трапецию Гарфилда можно применить для вывода формулы синуса и косинуса суммы углов.


Примем гипотенузу серого треугольника равной 1. Распишем катеты используя определения синуса и косинуса.

Вот и все, осталось списать формулы с рисунка:

И еще две формулы получим элементарной заменой угла β на -β:

Добавим в копилку еще четыре тригонометрические формулы, которые учить не надо — в любой момент вы их восстановите за одну минуту с помощью трапеции Гарфилда.

Домашнее задание. Получить с помощью трапеции Гарфилда формулы для тангенса суммы и разности двух углов.

 


 

Доказательство Гарфилда теоремы Пифагора на с. 161 журнала New-England Journal of Education, апрель 1876:


Обратите внимание на нотацию: вместо скобок черта над выражением.

Продолжение следует…

Пуловер с цельновязанными рукавами

Далее… »


шнуровка
Источник: Сабрина 2017-05

Формулы двойного угла и трапеция Гарфилда

Количество тригонометрических формул в школьном курсе математики поражает воображение. Нужно ли все их учить наизусть? Нет, не нужно — в (почти) любой момент мы можем заглянуть в википедию или справочник. Однако есть пара-тройка ситуаций, когда интернета под рукой нет — это необитаемый остров и экзамен. Сегодня рассказ о том, как получить формулы двойного угла в такой экстремальной ситуации, каковой является отсутствие интернета, не пользуясь шпаргалками и подсказками соседей.

Способ 1

Вспомним, какие углы отличаются в два раза — верно, центральный угол ровно в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Учитывая, что тригонометрические функции определяются для единичной окружности, изобразим эти углы следующим образом:

Далее… »

Обозначим вписанный угол x, тогда центральный угол составит 2x.
Используя определения синуса и косинуса, найдем катеты большого треугольника — это произведение гипотенузы (она равна 2) на синус угла x для противолежащего катета и на косинус угла x для прилежащего катета.
Все эти факты отображены на рисунке, набросать который не потребует ни усилий, ни времени.

Дополняем рисунок:

А теперь просто списываем формулы с рисунка.
Фокусируемся на светло-сером треугольнике — противолежащий катет равен произведению синуса угла на гипотенузу:

Снова смотрим на светло-серый треугольник — прилежащий катет равен произведению косинуса угла на гипотенузу:

Отсюда мгновенно с использованием основного тригонометрического тождества получаем еще три формулы:

Формула для тангенса получается делением на квадрат косинуса:

Из формул двойного угла элементарно получаются формулы половинного угла:

Способ 2

Разовьем успех. Построим прямоугольный треугольник с острым углом x и гипотенузой, равной 1 (на рисунке белый); затем на катетах построим два голубых прямоугольных треугольника, тоже с углами, равными x; серый треугольник получится сам собой:


Белый и голубые треугольники образуют фигуру, которая называется трапецией Гарфилда.

Поступим аналогично: распишем длины катетов через синус и косинус угла x. А теперь приравниваем верхнюю формулу нижней, а левую — правой:


Получили формулы двойного угла без единой выкладки, используя только определения синуса и косинуса.

Выводы

Итак, из курса тригонометрии необходимо запомнить:

1) определение синуса, косинуса, тангенса;
2) ОТТ — основное тригонометрическое тождество, которое представляет собой теорему Пифагора, записанную в терминах синуса и косинуса:

Десятки тригонометрических формул можно не учить и не выводить, а реконструировать при необходимости по рисунку.

Продолжение следует…

Банстед / Banstead

Далее… »

Источник: Knitting Plus — Mastering Fit, Interweave Knits, Summer 2011
Дизайнер: Lisa Shroyer (2011)
Вам потребуется: 900 – 1500 м пряжи Blue Sky Fibers Suri Merino (60% альпака, 40% меринос, 150 м / 100г), спицы 4.5 мм круговые и чулочные

Проект на Ravelry: Banstead

(Для просмотра необходимо авторизоваться)
Скачать описание (deposit)

Пуловер с косами

Далее… »

Источник: Lets knit series 2009-2010

Lace hem sweater

Далее… »


Рукав три четверти, круглый вырез.

Источник: Let’s Knit Magazine 116, March 2017
Дизайнер: Anniken Allis
Вам потребуется: пряжа Stories Fine Merino (50 г), спицы 3.5 мм

Проект на Ravelry: Lace hem sweater

(Для просмотра необходимо авторизоваться)
Скачать описание (deposit)

Desmos — построение графиков

Desmos — простой и мощный инструмент для построения графиков, онлайн графический калькулятор. Позволяет не только быстро нарисовать график функции по формуле, но отобразить табличные данные, изучить поведение функции при изменении параметров, решить систему уравнений или неравенств и многое другое.

Сайт: desmos.com (есть русский язык интерфейса)

Функция вписывается в левый столбец, а график моментально строится в правой части:

Далее… »

Здесь a — параметр, который можно изменять мышкой с помощью слайдера:


Кнопка слева от параметра включает анимацию.

Можно ввести несколько выражений, графики будут построены в одной системе координат.

А вот график в полярной системе координат:

Desmos умеет работать со списками, что позволяет одним кликом строить семейства функций:

Собственного поиска на сайте нет, поэтому для поиска среди опубликованных материалов используйте запрос google или яндекс вида «что искать site:desmos.com».

Решим графически неравенство:

Как построить график по точкам? Добавляем таблицу и вводим координаты точек, затем соединяем точки линией.

График параметрического уравнения:

График можно встроить на любой сайт или форум. Попробуйте подвигать точку:

Данный сервис с успехом может применяться преподавателями как наглядное пособие при объяснении материала.

На сайте размещено руководство пользователя, перевод которого на русский язык давно не обновлялся. Предлагаем новый перевод руководства, в котором более подробно рассказано о параметрах, таблицах, списках, регрессиях.

Скачать руководство пользователя Desmos, перевод на русский язык — ЯндексДиск

Ссылки по теме

  • Канал desmos на youtube
  • Daily Desmos — графические загадки. Еженедельно публикуется некий график, задача — найти уравнения для воспроизведения графика. При этом не используются сложные функции, такие как гиперболический секанс, а нужно подобрать изящную комбинацию элементарных функций.
  • teacher.desmos.com — сервис для учителей, множество готовых заданий, можно создавать свои задания. Для выполнения работы ученики получают код доступа к заданию, учитель в личном кабинете видит результаты каждого ученика, и может давать индивидуальные подсказки или же пояснения для всего класса.
  • Научный калькулятор от Desmos
  • Dynamic and Dynamite Desmos Demos — большое количество примеров
  • Copyright © All Rights Reserved · Green Hope Theme by Sivan & schiy · Proudly powered by WordPress