Ниже приводится глава из книги. Материал доступен самым младшим школьникам.

Источник: Эдвард Шейнерман. Путеводитель для влюбленных в математику (2018)

Полезен и практический вывод: не спешите избавляться от таких качеств, как честность, способность к состраданию, трудолюбие, которые окружение считает слабостями. Лучше смените окружение.

Нетранзитивные игральные кости

Мир одержим выстраиванием рейтингов. Мы составляем рейтинги атлетов, спортивных команд, больниц, ресторанов, фильмов, поп-музыки, студентов, коллег, городов, работы, машин, и т. д., и т. д. Нам нравится знать «самое-самое» – то, что входит в «первую десятку».

Это все чепуха, забавная чепуха, но тем не менее. Среди прочего чепуха происходит от того, насколько субъективна методология оценки. Если определенный ресторан в вашем городе признан лучшим, это не обязательно ваш любимый ресторан. Ваши предпочтения могут отличаться от суждений ресторанных критиков, а их взгляды на один и тот же вопрос зачастую прямо противоположны.

Можно выбрать объективную систему оценивания и все равно получать ничтожные результаты: например, оценивать фильмы по сумме выручки от их проката – это объективно и поддается подсчету. Можно аргументировано доказать: чем лучше фильм, тем больше людей жаждут заплатить за то, чтобы увидеть его. Но бывает такое, что фильм, сорвавший кассу, навевает на вас скуку, а малобюджетный инди-фильм западает в душу. Выручка от проката обычно говорит скорее о маркетинге, а не качестве картины.

Но, предположим, мы преодолели субъективность и достигли всеобщего соглашения относительно того, как сравнивать конкурентов. Попробуем выпарить идею ранжирования до ее математической сути. Улетучится ли тогда вся чепуха?

Две игральные кости

Сыграем в простую игру. Каждый бросит кубик, и у кого выпадет больше очков, тот выиграет. Если мы возьмем два обыкновенных кубика, где грани пронумерованы от одного до шести, то нет смысла говорить, что один кубик чем-то лучше другого. Они одинаковые.

Теперь сменим числа на гранях. Назовем наши игральные кости A и B.

Какая из них лучше, A или B? Какую вы предпочтете?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим все вероятности: как могут выпасть игральные кости? Если игральная кость A выпала числом 2 вверх, то для сравнения есть шесть вариантов того, как может выпасть игральная кость B. Если выпало число 3, вариантов для сравнения опять-таки шесть. Таким образом, есть 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 × 6 = 36 возможностей, и все они равновероятны. Иногда побеждает обладатель игральной кости A, иногда – обладатель игральной кости B (все числа на гранях разные, поэтому нет варианта сыграть раунд вничью). Кто выигрывает чаще?

Составим схему, включающую все 36 возможных комбинаций, где отмечено, кто выигрывает в каждом отдельном случае, A или B.

Становится очевидно, что игральная кость B лучше. В борьбе один на один B одолевает A чаще, чем наоборот. На схеме видно, что A побеждает в 15 случаях из 36, в то время как B – в 21 случае из 36.

Профессиональные игроки скажут, что шансы на победу A равны 15 против 21, а шансы на победу B равны 21 против 15. Вероятность того, что выиграет A, равна 15/36 (или 42 %), вероятность того, что выиграет B, равна 21/36 (или 58 %).

Как ни назови это преимущество, но B явно лучше A.

Соперник

Добавим еще одну игральную кость. Внимание, появился новый соперник! Пусть на грани C нанесены числа, указанные на схеме.

C рьяно вызывает на бой B. Кости кидают, и побеждает та, где выпало наибольшее число. Какая из них лучше, B или C? Как и раньше, начертим схему и посмотрим, какая игральная кость имеет больше шансов на победу.

Мы видим, что C выигрывает гораздо чаще, чем B. Вероятность победы C равна 25/36 (около 69 %), в то время как B побеждает с вероятностью 11/36 (около 31 %).

В схватке один на один C лучше B, а B лучше A.

Значит, C лучше всех, верно?

Триумф неудачника

Казалось бы, среди трех игральных костей A слабее всех, а C сильнее всех. Что будет, если C сразится с A? Разумеется, C победит?

Начертим снова схему всех возможностей:

Посмотрите! A лучше C. Игральная кость A выигрывает с вероятностью 21/36 (около 58 %), а C – с вероятностью 15/36 (около 42 %).

Мы пришли к трем ошарашивающим выводам:

– B лучше A;

– C лучше B;

– A лучше C.

Ни одну из игральных костей нельзя назвать «лучшей», и ранжировать их бессмысленно.

Сколько еще рейтингов в нашей жизни лишены смысла?

---

Итак, бинарное отношение R на множестве X называется транзитивным, если для любых трёх элементов a,b,c из выполнения отношений a R b и b R c следует выполнение отношения a R c.

Пример транзитивных отношений: 5<10, 10<15, значит, 5<15. Прямая a параллельна прямой b, прямая b параллельна прямой с, значит, прямая a параллельна прямой с.
Пример нетранзитивных отношений: волк ест козу, коза ест капусту, но волк не ест капусту.
Пример антитранзитивных отношений: игра в камень, ножницы, бумагу: бумага побеждает (накрывает) камень, камень побеждает (затупляет) ножницы, ножницы побеждают (разрезают) бумагу.

Это свойство и дает обоснование конструкции рассматриваемого центроискателя.
Центроискатель представляет собой угольник, длина одного из сторон которого вдвое больше ширины другой стороны (AB = 2h, см. черт. 2).

Черт. 2

Около кромки BC расположена равномерная шкала, масштаб которой вдвое больше масштаба шкалы, расположенной около кромки MN (B и M — соответственно начала шкал).

Черт. 3

Чтобы отыскать центр заданной окружности, надо приложить центроискатель так, чтобы вершины А и В оказались на дуге окружности (черт. 3). Тогда центр окружности находится против деления шкалы MN, имеющего то же числовое значение, что и точка, в которой окружность пересекает шкалу BC.

Использование в учебном процессе данного центроискателя позволяет показать применение свойства средней линии прямоугольного треугольника в практических целях.

Рассматриваемый центроискатель можно использовать и как прибор для деления пополам отрезков и углов.

Например, чтобы разделить пополам данный отрезок KT (черт. 4), нужно наложить прибор так, чтобы вершина А оказалась против одного конца отрезка, а кромка BC прошла через другой конец отрезка. Тогда MN, являясь средней линией в образовавшемся треугольнике KBT, разделит KT пополам.

Черт. 4

Для деления пополам данного угла EFD (черт. 5) прибор прикладывается так, чтобы А и В оказались на сторонах данного угла, a MN проходила через его вершину F. Тогда MN займет положение биссектрисы угла.

Черт. 5

---

Еще один центроискатель для самодельщиков:

Помещаем заготовку в угол напротив оргстекла и проводим линию вдоль 45 градусов по краю плексигласа. Поворачиваем заготовку и отмечаем еще одну линию, которая и даст вам центр. Можно сделать и третью линию, но она, как правило, необходима при использовании инструмента в первый раз, чтобы убедиться, что ваш измерительный инструмент является точным.
Подробнее здесь.

Можно работать с программой прямо в браузере, а можно скачать и установить на свой компьютер или телефон отдельные приложения.

Самая замечательная особенность в GeoGebra — это двойное представление объектов: каждому выражению в алгебраическом окне соответствует объект в геометрическом окне и наоборот.
Команды можно вводить как на английском, так и на русском языках.

Основные возможности

• Построение графиков функций
• Построение кривых, заданных параметрически в декартовой системе координат
• Построение конических сечений
• Построение геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой-либо кривой или многоугольнику (инструмент Локус).
• Действия с матрицами, вычисление определителя
• Аппроксимация множества точек кривой заданного вида
• Работа с таблицами
• Анимация

Графический калькулятор

В этой заметке рассмотрим Графический калькулятор

Экран разбит на несколько областей, аналогично тому как это сделано в Desmos. Слева расположена панель для ввода уравнений (панель объектов), в центре отображаются графики и объекты (полотно), внизу всплывающая панель виртуальной клавиатуры, вверху — панель инструментов, справа — свойства выбранной фигуры. Есть и другие панели, отображение которых пока не будем включать.

Панель инструментов

Геогебра предоставляет широкий спектр инструментов для графического представления объектов. Перечислим их в том же порядке, в котором расположены иконки.

Перемещение, фигура от руки

Режим перемещения позволяет выбирать и передвигать объекты мышкой и клавишами со стрелками. Клавиша Delete позволяет удалить выделенный объект или группу объектов. Перейти в режим перемещения можно нажатием клавиши Esc. Также в любом режиме можно перетаскивать фигуры правой кнопкой мыши

Пример. Введем функцию f(x) = x³ - 2x² в поле ввода текста; сразу же будет отображен график функции. Введем команду производная[f]. Снимем галочку «Закрепить объект» в свойствах этой кривой. Выберем режим «Перемещение». Будем перемещать график с помощью мыши и наблюдать за изменением уравнения функции и ее производной.

Фигура от руки и карандаш:

Инструмент Карандаш — можно писать на чертеже как ручкой.
В режиме «фигура от руки» каракули, нарисованные мышкой, волшебным образом превращаются в геометрические фигуры. Программа пытается угадать что нарисовано и преобразовать, угадывает даже некоторые функции.

Точка, пересечение, середина отрезка

Группа инструментов под названием Точка:

Точка на объекте отличается от обычной точки тем, что при перемещении она ограничена контуром объекта-владельца.
Команда: Point
Команда для задания точки зависит от настроек, по умолчанию T = (x,y).
Здесь вместо координат x, y могут быть числовые константы или другие переменные:
T = (3, f(a)).
Пересечение — позволяет создать точку пересечения двух выбранных объектов.
Команда: Intersect

Примеры:
Point[{1, 2}] — нарисовать точку с координатами (1,2).
или просто S=(1,2) — нарисовать точку S с координатами (1,2)

Intersect[y = x + 3, y=-2x+5] — построить точку пересечения двух прямых, сами прямые нужно строить отдельными командами.

Более сложный пример. Зададим функцию параметрически, введем выражения
a = Curve[cos(t), sin(t), t, 0, π]
b = Curve[cos(t) + 1, sin(t), t, 0, π]
и попробуем найти точку пересечения этих кривых a и b на отрезке от 0 до 2:
Intersect[a, b, 0, 2].
Результат:

Символы x, y, z не нужно использовать для именования объектов. Эти имена зарезервированы для получения координат точки. Например:
B = (x(T), s) — построить точку B с абсциссой, совпадающей с абсциссой точки T
С = (5, y(T)) — построить точку С с абсциссой 5 и ординатой, совпадающей с ординатой точки T.

Команда для получения длины отрезка:
Расстояние[M, C]

Команда для нахождения середины отрезка или центра коники:
C=Середина(A,B)
Команды: Midpoint, Length, Distance

Последние два инструмента для нахождения корней и точек экстремума выбранной функции:

Команды: Корень, Экстремум, НулиФункции, Min

Прямая, отрезок, луч, вектор

Набор инструментов для построения прямой, проходящей через две точки, отрезка по двум точкам, отрезка с заданной длиной, луча, вектора, ломаной линии.
Команды: Прямая / Line, Отрезок / Segment, Луч / Ray, Вектор, Ломаная, Перенести

Перпендикулярная прямая, биссектриса, касательная

Набор инструментов позволяет построить:
- перпендикулярную прямую, проходящую через заданную точку, к указанной прямой
- параллельную прямую, проходящую через заданную точку, к указанной прямой
- срединный перпендикуляр по двум точкам или к отрезку
- биссектрису угла по трем точкам или двум прямым
- касательную к окружности, конике или функции через точку
- поляру или диаметр по точке или прямой, и конике.

Инструмент Аппроксимация позволяет построить линейную регрессию по набору точек. Пример:
FitLine[{(-2, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 3), (5, 4)}]
результатом будет прямая y=0.4x+2
Синонимы ЛинейнаяАппроксимацияПоX, ЛинейнаяАппроксимацияПоY

Инструмент Локус.

Многоугольник

Набор инструментов позволяет построить:
- многоугольник по заданным вершинам
- правильный многоугольник по вершине, стороне и числу сторон
- жесткий многоугольник — можно указать последовательно вершины, а можно кликнуть по существующему многоугольнику, чтобы сделать с него копию.
- векторный многоугольник.

Команды: Многоугольник

Окружность, сектор, дуга

Набор инструментов для построения окружностей, заданных разными способами, дуг, секторов.
Команды: Окружность, Полуокружность, СекторКруга, ОписаннаяДуга

Эллипс, парабола, коника

Набор инструментов для построения эллипса, гиперболы, параболы, коники по пяти точкам

Команды: Эллипс, Гипербола, Парабола, Коника

Угол, наклон прямой, периметр, площадь

- Построение угла по трем точкам или двум прямым (указывать в порядке против часовой стрелки), угла заданной величины.
- Расстояние между двумя точками, длина отрезка, периметр многоугольника, длина окружности или замкнутой кривой.
- Площадь многоугольника, окружности или коники.
- Наклон прямой (угловой коэффициент)
- Создать список — щелкнуть по элементам, затем снова щелкнуть по иконке инструмента

Отношение объектов
Инструмент позволяет выбрать два объекта и получить сообщение о равенстве некоторых величин этих объектов.
* две прямые перпендикулярны?
* две прямые параллельны?
* два объекта равны?
* прямая является касательной или секущей к конике?
* точка лежит на прямой или конике?

Исследователь функции

Выбрать функцию, указать интервал, будет сформирована таблица с данными — точки экстремума, интеграл, площадь, корни, длина.

Команды: Угол, Повернуть, Расстояние, Периметр, Периферия, Наклон. Список обозначается фигурными скобками

Отражение, поворот, гомотетия

Отражение относительно прямой: выбрать исходный объект и прямую (отрезок)
Отражение относительно точки: выбрать исходный объект и точку

Отражение относительно окружности:

Поворот вокруг точки: указать объект, центр вращения и угол поворота.
Параллельный перенос по вектору: указать исходный объект и вектор переноса.

Гомотетия относительно точки: указать проектируемый объект, центр и коэффициент гомотетии.

Команды: Отразить, Повернуть, Перенести, Гомотетия

Ползунок, текст и другие элементы

Ползунок (слайдер) можно создать как с клавиатуры в панели объектов: ввести, например, a=2 и затем выбрать «Показывать объект», так и с помощью инструмента Ползунок. Вы можете изменять значение ползунка, передвигая его мышью или нажимая клавиши со стрелками.

Пример. Ввести команды:
A=(1,1)
r=3
окружность(A,r)

Будет создана точка A, ползунок r и окружность с центром в точке A и радиусом r, который можно менять вручную или включить анимацию.

Ползунок скрыт на чертеже, при желании показать его щелкните по кружку слева от объекта.
Ползунок может быть горизонтальным или вертикальным, регулируется скорость анимации, длина ползунка.

Изображение

Добавить на чертеж картинку из файла. Можно регулировать прозрачность. Можно сделать фоновым — тогда сетка просвечивает через рисунок.

Текст — создание надписи, пояснительного текста. Поддерживается latex. Надпись можно привязать к определенной точке на чертеже или к месту на листе, абсолютно или относительно — см. свойства.
Для создания динамического текста, который будет отображать изменение параметров объекта, выберите объект из списка объектов. Имя объекта в поле ввода заключается в рамку, на чертеже будет показано значение объекта (например, для отрезка будет показана его длина). Правый клик по рамке позволяет переключаться между определением и значением объекта. Если перетащить объект из панели объектов на полотно, надпись будет создана автоматически.

Можно выполнять алгебраические операции или применять команды к объектам, просто вписывая команды в текст. Результат операций будет динамически показан на чертеже.
Пример. Ввести команды:

a=10
b=30
c=a+b

Объекты a и b будут преобразованы в ползунки. Перетащите последний объект на чертеж — будет создана надпись. По мере изменения параметров a и b с помощью ползунков сумма этих объектов будет автоматически отображаться на чертеже.

Команды: LaTeX, двойные кавычки

Доступны также такие элементы, как кнопка, флажок, окно ввода.

Флажок можно использовать, например, для управления видимостью других объектов. С окном ввода связан другой объект, например, отрезок, и поле ввода будет управлять длиной этого отрезка.

Масштаб, перемещение полотна, скрытие объекта

Копировать стиль — выбрать объект-источник стиля и объект, к которому следует применить стиль.

Ссылки по теме

* Графический калькулятор Geogebra
* Форум GeoGebra
* Список всех команд GeoGebra

Рассмотрим доказательство этой формулы из обычного учебника по геометрии за 9 класс.

В двух словах план доказательства таков: вписываем в окружность правильные многоугольники (или описываем их вокруг окружности — на результат это не повлияет). При увеличении количества сторон периметр многоугольника будет все меньше отличаться от длины окружности.

Доказываем, что длина окружности пропорциональна радиусу. Осталось найти коэффициент пропорциональности, современное обозначение для которого ввел Эйлер: π — это первая буква в греческом слове περιφερεια — периферия, что означает “окружность”.

В давние времена, более двух тысяч лет назад, Архимед посчитал периметр 96-угольника, поделил на диаметр вписанной окружности и получил известное приближение
, которым мы с успехом пользуемся в бытовых вычислениях и по сей день. Впрочем, в Древнем Египте за 1500 лет до Архимеда использовали хорошее приближение для числа пи:

Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда по имени его первого владельца):

Это древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии (1985—1795 гг. до н. э.), переписанное писцом по имени Ахмес на свиток папируса высотой 32 см и шириной более 5 метров. Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. Папирус Ахмеса показывает, что древние египтяне с лёгкостью справлялись с измерением площади треугольника и относительно точно определяли приближение числа пи, тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. При этом древние египтяне ещё не знали таблицу умножения и все вычисления были крайне громоздкими.

А почему, собственно, не измерить π с помощью веревочки, линейки или прибора поточнее? Древний грек нам гордо ответил бы: «Возиться с приборами — это дело раба, привычного к ручному труду, а свободному человеку приличествует полагаться лишь на силу ума». Вот как, оказывается, рабовладельческий образ мысли проявляется даже в такой отвлеченной науке, как математика.

Школьный учебник — не научная монография, поэтому доказательство не очень строгое. Пропущен важный шаг. Для того, чтобы показать это, сохраним общую идею, но немного изменим процедуру — опишем квадрат вокруг окружности. Для определенности возьмем окружность диаметра 1, тогда периметр квадрата 4. Теперь удалим “лишние” уголки квадрата, сделав тем самым линию ближе к окружности:

Периметр полученной фигуры по прежнему равен 4.

Продолжая убирать уголки, получим зубчатую линию, длина которой равна 4, и которая с каждым шагом приближается к окружности, а значит, π равно 4:1 = 4. Архимед ошибался?

Кажется, что фигура, которая получается из квадрата, будет в точности повторять круг: ведь все отрезки, из которых состоит фигура, будут находиться сколь угодно близко к окружности. Несмотря на это, фигура кругом никогда не станет, потому что сколь малыми бы ни были её элементы, они представляют собой «угловатую» ломаную линию, периметр которой не меняется.

Данное «доказательство» представляет собой софизм, который заставляет внимательнее отнестись и к доказательству из учебника.

Еще один пример. Длина кривой не обязана иметь предел: увеличивая частоту колебаний, можно получить кривую сколь угодно большой длины.

Итак, предельный переход в доказательстве должен быть обоснован, так как далеко не всегда геометрическая “близость” двух кривых в пределе означает равенство их длин.

Обратимся к учебникам 60-х годов прошлого века, по которым учились нынешние академики и профессора.

Легендарный учебник по геометрии А.П.Киселева, 8 — 9 класс, Киев, 1966 год:

Раздел о вычислении длины окружности начинается с введения нового понятия — понятия о пределе, “имеющего исключительно большое значение во всей математике”.

Как получилось, что этот параграф убрали из программы школьного курса? уму не постижимо. Сумма бесконечной геометрической прогрессии — есть, начала анализа и понятие производной — есть, а операции предельного перехода нет: сократили. Товарищи-составители школьной программы, верните, пожалуйста, эту тему в наши учебники: предельный переход — одна из основных математических операций, такая же как сложение, умножение, вычитание, деление и возведение в степень.

Всего пять страниц в учебнике Киселева занимает параграф о том, что такое предел, почему не всегда этот предел существует и доказательство теоремы о том, что монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет определенный предел… и разрозненные главы обретают целостность, вывод формулы длины окружности из карточного домика, готового в любую секунду рухнуть под пытливым взглядом ученика, превращается в строгое доказательство.

Следует отметить, что сейчас учебники в старших классах многоуровневые, и включают материал для обычных детей и для тех, кто занимается предметом углубленно. Упомяните о теореме Вейерштрасса хотя бы в профильном учебнике, чтобы не выдавать за доказательство то, что доказательством не является.

Ссылки по теме:

• А. П. Киселев, Н. Рыбкин. Геометрия. Учебник и сборник задач для 8 — 9 класса, издание пятое. Под редакцией проф. Н. А. Глаголева. Киев, 1966 г. — с. 80 — 93
• А. П. Киселев. Геометрия (планиметрия, стереометрия), Москва, 2004 г — переиздание учебника, вышедшего в 1892 г — с. 177 — 190
• А. Г. Мерзляк и др. Геометрия, учебник для 9-го класса, Харьков, 2009 г (не полный) — с. 63 — 67
• Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику, Москва, 1997 г — с. 181 — 196
• Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова. Алгебра и элементарные функции 9 класс, Москва, 1969 г — с. 289 — 316 — очень понятное и подробное изложение, закономерно перетекающее в рассмотрение арифметической и геометрической прогрессий.
• Папирус Ахмеса — Википедия

На первый взгляд, графики имеют одну точку пересечения, и из соображений симметрии она лежит на прямой y=x.

Не будем спешить с выводами. Увеличим область в районе точки пересечения:

Desmos почему-то выделил три точки. Сделаем еще крупнее:

Оказывается, синий график, прежде чем уйти ниже зеленого графика, делает почти незаметный финт ушами, тем самым добавляя еще две точки перечения — x=0,5 и x=0,25. Подстановкой можно убедиться, что это точные корни нашего уравнения.

Заменим в уравнении 1/16 на 1/256 — разрыв между кривыми увеличился, три точки пересечения хорошо видны:

Для сравнения уравнение с 1/2 вместо 1/16:

Как мы и предполагали вначале, только одна точка пересения. Качественный скачок во взаимном расположении кривых происходит, по всей видимости, где-то между 1/2 и 1/16 (примерно 0.0659855).

Вот как это уравнение решила WolframAlpha:

Точки пересечения любезно выделены.

Вывод: графический метод решения уравнений имеет ограничения, связанные с тем, что линии графиков не идеально тонкие и могут сливаться на определенном участке, и тем не менее, компьютерные построители графиков (а кто сейчас строит графики вручную) обладают достаточным интеллектом, чтобы выделить точки пересечения и не дать пользователю потерять существенные детали.

Более подробно это уравнение проанализировано в статье:
Сидоров Ю. Об одном замечательном уравнении. Журнал «Квант», 1990-05

Очевидно, что

И поскольку , получаем тождество Эйлера для арктангенсов:

Когда p=q=1, получаем частный случай, который мы уже рассматривали в заметке про число пи:

Когда p=2, q=1, получаем

Подставляем в предыдущее тождество, получаем формулу Хаттона:

С помощью формулы Хаттона, в сочетании с разложением арктангенса в ряд, в 1847 году датский математик Томас Клаузен (Clausen) вычислил 248 знаков числа π (напомню, компьютеров тогда не было).

Обозначим F_n последовательность чисел Фибоначчи, F₁=F₂=1, F_n+1=F_n+F_n-1. Получим тождество:

Для доказательства принять p=F_2n, q=F_2n-1 в тождестве Эйлера и использовать тождество Кассини

Литература

• Rex H. Wu. Euler’s Arctangent Identity — Mathematics Magazine, March 31, 2004
• Ed Sandifer. How Euler Did It — February 2009
• Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen, 2011. Скачать
• Cameos for Calculus, Visualization in the First-Year Course-MAA. Roger B. Nelsen, 2015. Скачать

Рассмотрим трапецию Гарфилда такого вида:

Неравенство мгновенно доказано: верхняя сторона трапеции по теореме Пифагора равна и она не может быть меньше нижней стороны трапеции a+b. Равенство достигается, только если нижняя и верхняя стороны параллельны, то есть a=b.

Отсюда, кстати, следует, что для любого угла

Разделим обе части доказанного неравенства на 2 и вспомним, что , получим частный случай неравенства о средних:

Слева — среднее арифметическое, справа — среднее квадратичное двух чисел. Равенство достигается в случае равенства a и b.

Точно также без слов, опираясь только на теорему Пифагора, докажем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

Если положить a=x, b=1/x, получим

Используя еще одну трапецию Гарфилда, это неравенство можно улучшить:

Продолжение следует…

Все четыре треугольника — прямоугольные.
Гипотенуза желтого треугольника по теореме Пифагора равна корню из 5.
Гипотенуза зеленого треугольника тоже равна корню из 5 (это потому что зеленый и желтый треугольники равны).
Гипотенуза синего треугольника равна корню из 10.
Проверяем выполняется ли теорема Пифагора для белого треугольника: 5+5=10, значит, белый треугольник тоже прямоугольный и заодно равнобедренный.
Такая конструкция из трех прямоугольных треугольников ABCF называется трапецией Гарфилда. Джеймс Гарфилд (1831–1881):

Джеймс Гарфилд был одним из самых незаурядных президентов США.
В юности он успел побывать боцманом и плотником, позже работал адвокатом, учителем, директором одного из высших учебных заведений. Он придумал и опубликовал своё доказательство теоремы Пифагора.

Вспоминаем, что тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Значит,
tg ∠EFC = 1
tg ∠AFE = 2
tg ∠DFC = 3
В сумме эти углы составляют развернутый угол, отсюда:

Сравните с доказательством этой формулы, опубликованным на math.stackexchange.com.
 

Представим аналогичным образом угол C как сумму трех углов и получим:

И теперь представим угол EFC как сумму двух углов:

Трапецию Гарфилда можно применить для вывода формулы синуса и косинуса суммы углов.

Примем гипотенузу серого треугольника равной 1. Распишем катеты используя определения синуса и косинуса.

Вот и все, осталось списать формулы с рисунка:

И еще две формулы получим элементарной заменой угла β на -β:

Добавим в копилку еще четыре тригонометрические формулы, которые учить не надо — в любой момент вы их восстановите за одну минуту с помощью трапеции Гарфилда.

Домашнее задание. Получить с помощью трапеции Гарфилда формулы для тангенса суммы и разности двух углов.

 

---

 

Доказательство Гарфилда теоремы Пифагора на с. 161 журнала New-England Journal of Education, апрель 1876:

Обратите внимание на нотацию: вместо скобок черта над выражением.

Продолжение следует…

Обозначим вписанный угол x, тогда центральный угол составит 2x.
Используя определения синуса и косинуса, найдем катеты большого треугольника — это произведение гипотенузы (она равна 2) на синус угла x для противолежащего катета и на косинус угла x для прилежащего катета.
Все эти факты отображены на рисунке, набросать который не потребует ни усилий, ни времени.

Дополняем рисунок:

А теперь просто списываем формулы с рисунка.
Фокусируемся на светло-сером треугольнике — противолежащий катет равен произведению синуса угла на гипотенузу:

Снова смотрим на светло-серый треугольник — прилежащий катет равен произведению косинуса угла на гипотенузу:

Отсюда мгновенно с использованием основного тригонометрического тождества получаем еще три формулы:

Формула для тангенса получается делением на квадрат косинуса:

Из формул двойного угла элементарно получаются формулы половинного угла:

Способ 2

Разовьем успех. Построим прямоугольный треугольник с острым углом x и гипотенузой, равной 1 (на рисунке белый); затем на катетах построим два голубых прямоугольных треугольника, тоже с углами, равными x; серый треугольник получится сам собой:

Белый и голубые треугольники образуют фигуру, которая называется трапецией Гарфилда.

Поступим аналогично: распишем длины катетов через синус и косинус угла x. А теперь приравниваем верхнюю формулу нижней, а левую — правой:

Получили формулы двойного угла без единой выкладки, используя только определения синуса и косинуса.

Выводы

Итак, из курса тригонометрии необходимо запомнить:

1) определение синуса, косинуса, тангенса;
2) ОТТ — основное тригонометрическое тождество, которое представляет собой теорему Пифагора, записанную в терминах синуса и косинуса:

Десятки тригонометрических формул можно не учить и не выводить, а реконструировать при необходимости по рисунку.

Продолжение следует…