Трапеция Гарфилда и числа Фибоначчи
Выберем произвольные положительные числа p и q, и положив один из катетов равным 1, построим следующую трапецию Гарфилда:
Очевидно, что
И поскольку 
, получаем тождество Эйлера для арктангенсов:
Когда p=q=1, получаем частный случай, который мы уже рассматривали в заметке про число пи:
Когда p=2, q=1, получаем
Подставляем в предыдущее тождество, получаем формулу Хаттона:
С помощью формулы Хаттона, в сочетании с разложением арктангенса в ряд, в 1847 году датский математик Томас Клаузен (Clausen) вычислил 248 знаков числа π (напомню, компьютеров тогда не было).
Обозначим Fn последовательность чисел Фибоначчи, F1=F2=1, Fn+1=Fn+Fn-1. Получим тождество:
Для доказательства принять p=F2n, q=F2n-1 в тождестве Эйлера и использовать тождество Кассини
Литература
- Rex H. Wu. Euler’s Arctangent Identity — Mathematics Magazine, March 31, 2004
- Ed Sandifer. How Euler Did It — February 2009
- Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen, 2011. Скачать
- Cameos for Calculus, Visualization in the First-Year Course-MAA. Roger B. Nelsen, 2015. Скачать
Трапеция Гарфилда и неравенства о среднем
Задача. Пусть c — длина гипотенузы прямоугольного треугольника, длины двух других сторон треугольника равны a и b.
Доказать, что
Когда выполняется равенство?
(Канадская математическая олимпиада, 1969, задача 3)
Рассмотрим трапецию Гарфилда такого вида:
Неравенство мгновенно доказано: верхняя сторона трапеции по теореме Пифагора равна
и она не может быть меньше нижней стороны трапеции a+b. Равенство достигается, только если нижняя и верхняя стороны параллельны, то есть a=b.
Отсюда, кстати, следует, что для любого угла 
Разделим обе части доказанного неравенства на 2 и вспомним, что 
, получим частный случай неравенства о средних:
Слева — среднее арифметическое, справа — среднее квадратичное двух чисел. Равенство достигается в случае равенства a и b.
Точно также без слов, опираясь только на теорему Пифагора, докажем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
Если положить a=x, b=1/x, получим
Используя еще одну трапецию Гарфилда, это неравенство можно улучшить:
