Коварство графического метода

Решим графически уравнение, используя Desmos:


Слева от знака равенства — показательная функция с основанием, меньшим 1, значит, функция убывающая (зеленый график). Справа от знака равенства — логарифмическая функция, также убывающая (синий график).

Далее… »

На первый взгляд, графики имеют одну точку пересечения, и из соображений симметрии она лежит на прямой y=x.

Не будем спешить с выводами. Увеличим область в районе точки пересечения:

Desmos почему-то выделил три точки. Сделаем еще крупнее:

Оказывается, синий график, прежде чем уйти ниже зеленого графика, делает почти незаметный финт ушами, тем самым добавляя еще две точки перечения — x=0,5 и x=0,25. Подстановкой можно убедиться, что это точные корни нашего уравнения.

Заменим в уравнении 1/16 на 1/256 — разрыв между кривыми увеличился, три точки пересечения хорошо видны:

Для сравнения уравнение с 1/2 вместо 1/16:


Как мы и предполагали вначале, только одна точка пересения. Качественный скачок во взаимном расположении кривых происходит, по всей видимости, где-то между 1/2 и 1/16 (примерно 0.0659855).

Вот как это уравнение решила WolframAlpha:


Точки пересечения любезно выделены.

Вывод: графический метод решения уравнений имеет ограничения, связанные с тем, что линии графиков не идеально тонкие и могут сливаться на определенном участке, и тем не менее, компьютерные построители графиков (а кто сейчас строит графики вручную) обладают достаточным интеллектом, чтобы выделить точки пересечения и не дать пользователю потерять существенные детали.

Более подробно это уравнение проанализировано в статье:
Сидоров Ю. Об одном замечательном уравнении. Журнал «Квант», 1990-05

Сплетенье цифр

Трапеция Гарфилда и числа Фибоначчи

Выберем произвольные положительные числа p и q, и положив один из катетов равным 1, построим следующую трапецию Гарфилда:

Далее… »

Очевидно, что

И поскольку , получаем тождество Эйлера для арктангенсов:


Когда p=q=1, получаем частный случай, который мы уже рассматривали в заметке про число пи:

Когда p=2, q=1, получаем

Подставляем в предыдущее тождество, получаем формулу Хаттона:

С помощью формулы Хаттона, в сочетании с разложением арктангенса в ряд, в 1847 году датский математик Томас Клаузен (Clausen) вычислил 248 знаков числа π (напомню, компьютеров тогда не было).

Обозначим Fn последовательность чисел Фибоначчи, F1=F2=1, Fn+1=Fn+Fn-1. Получим тождество:

Для доказательства принять p=F2n, q=F2n-1 в тождестве Эйлера и использовать тождество Кассини

Литература

Трапеция Гарфилда и неравенства о среднем

Задача. Пусть c — длина гипотенузы прямоугольного треугольника, длины двух других сторон треугольника равны a и b.
Доказать, что

Когда выполняется равенство?
(Канадская математическая олимпиада, 1969, задача 3)

Далее… »

Рассмотрим трапецию Гарфилда такого вида:


Неравенство мгновенно доказано: верхняя сторона трапеции по теореме Пифагора равна и она не может быть меньше нижней стороны трапеции a+b. Равенство достигается, только если нижняя и верхняя стороны параллельны, то есть a=b.

Отсюда, кстати, следует, что для любого угла

Разделим обе части доказанного неравенства на 2 и вспомним, что , получим частный случай неравенства о средних:


Слева — среднее арифметическое, справа — среднее квадратичное двух чисел. Равенство достигается в случае равенства a и b.

Точно также без слов, опираясь только на теорему Пифагора, докажем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:


Если положить a=x, b=1/x, получим


Используя еще одну трапецию Гарфилда, это неравенство можно улучшить:

Продолжение следует…

Трапеция Гарфилда и число пи

Возьмем конструкцию из второй части заметки про формулы двойного угла и получим с ее помощью несколько красивых формул для числа пи.
Разобьем прямоугольник на клеточки 2 х 3 и впишем треугольник следующим образом:

Далее… »

Все четыре треугольника — прямоугольные.
Гипотенуза желтого треугольника по теореме Пифагора равна корню из 5.
Гипотенуза зеленого треугольника тоже равна корню из 5 (это потому что зеленый и желтый треугольники равны).
Гипотенуза синего треугольника равна корню из 10.
Проверяем выполняется ли теорема Пифагора для белого треугольника: 5+5=10, значит, белый треугольник тоже прямоугольный и заодно равнобедренный.
Такая конструкция из трех прямоугольных треугольников ABCF называется трапецией Гарфилда. Джеймс Гарфилд (1831–1881):


Джеймс Гарфилд был одним из самых незаурядных президентов США.
В юности он успел побывать боцманом и плотником, позже работал адвокатом, учителем, директором одного из высших учебных заведений. Он придумал и опубликовал своё доказательство теоремы Пифагора.

Вспоминаем, что тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Значит,
tg ∠EFC = 1
tg ∠AFE = 2
tg ∠DFC = 3
В сумме эти углы составляют развернутый угол, отсюда:

Сравните с доказательством этой формулы, опубликованным на math.stackexchange.com.
 

Представим аналогичным образом угол C как сумму трех углов и получим:

И теперь представим угол EFC как сумму двух углов:

Трапецию Гарфилда можно применить для вывода формулы синуса и косинуса суммы углов.


Примем гипотенузу серого треугольника равной 1. Распишем катеты используя определения синуса и косинуса.

Вот и все, осталось списать формулы с рисунка:

И еще две формулы получим элементарной заменой угла β на -β:

Добавим в копилку еще четыре тригонометрические формулы, которые учить не надо — в любой момент вы их восстановите за одну минуту с помощью трапеции Гарфилда.

Домашнее задание. Получить с помощью трапеции Гарфилда формулы для тангенса суммы и разности двух углов.

 


 

Доказательство Гарфилда теоремы Пифагора на с. 161 журнала New-England Journal of Education, апрель 1876:


Обратите внимание на нотацию: вместо скобок черта над выражением.

Продолжение следует…

Формулы двойного угла и трапеция Гарфилда

Количество тригонометрических формул в школьном курсе математики поражает воображение. Нужно ли все их учить наизусть? Нет, не нужно — в (почти) любой момент мы можем заглянуть в википедию или справочник. Однако есть пара-тройка ситуаций, когда интернета под рукой нет — это необитаемый остров и экзамен. Сегодня рассказ о том, как получить формулы двойного угла в такой экстремальной ситуации, каковой является отсутствие интернета, не пользуясь шпаргалками и подсказками соседей.

Способ 1

Вспомним, какие углы отличаются в два раза — верно, центральный угол ровно в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Учитывая, что тригонометрические функции определяются для единичной окружности, изобразим эти углы следующим образом:

Далее… »

Обозначим вписанный угол x, тогда центральный угол составит 2x.
Используя определения синуса и косинуса, найдем катеты большого треугольника — это произведение гипотенузы (она равна 2) на синус угла x для противолежащего катета и на косинус угла x для прилежащего катета.
Все эти факты отображены на рисунке, набросать который не потребует ни усилий, ни времени.

Дополняем рисунок:

А теперь просто списываем формулы с рисунка.
Фокусируемся на светло-сером треугольнике — противолежащий катет равен произведению синуса угла на гипотенузу:

Снова смотрим на светло-серый треугольник — прилежащий катет равен произведению косинуса угла на гипотенузу:

Отсюда мгновенно с использованием основного тригонометрического тождества получаем еще три формулы:

Формула для тангенса получается делением на квадрат косинуса:

Из формул двойного угла элементарно получаются формулы половинного угла:

Способ 2

Разовьем успех. Построим прямоугольный треугольник с острым углом x и гипотенузой, равной 1 (на рисунке белый); затем на катетах построим два голубых прямоугольных треугольника, тоже с углами, равными x; серый треугольник получится сам собой:


Белый и голубые треугольники образуют фигуру, которая называется трапецией Гарфилда.

Поступим аналогично: распишем длины катетов через синус и косинус угла x. А теперь приравниваем верхнюю формулу нижней, а левую — правой:


Получили формулы двойного угла без единой выкладки, используя только определения синуса и косинуса.

Выводы

Итак, из курса тригонометрии необходимо запомнить:

1) определение синуса, косинуса, тангенса;
2) ОТТ — основное тригонометрическое тождество, которое представляет собой теорему Пифагора, записанную в терминах синуса и косинуса:

Десятки тригонометрических формул можно не учить и не выводить, а реконструировать при необходимости по рисунку.

Продолжение следует…

Desmos — построение графиков

Desmos — простой и мощный инструмент для построения графиков, онлайн графический калькулятор. Позволяет не только быстро нарисовать график функции по формуле, но отобразить табличные данные, изучить поведение функции при изменении параметров, решить систему уравнений или неравенств и многое другое.

Сайт: desmos.com (есть русский язык интерфейса)

Функция вписывается в левый столбец, а график моментально строится в правой части:

Далее… »

Здесь a — параметр, который можно изменять мышкой с помощью слайдера:


Кнопка слева от параметра включает анимацию.

Можно ввести несколько выражений, графики будут построены в одной системе координат.

А вот график в полярной системе координат:

Desmos умеет работать со списками, что позволяет одним кликом строить семейства функций:

Собственного поиска на сайте нет, поэтому для поиска среди опубликованных материалов используйте запрос google или яндекс вида «что искать site:desmos.com».

Решим графически неравенство:

Как построить график по точкам? Добавляем таблицу и вводим координаты точек, затем соединяем точки линией.

График параметрического уравнения:

График можно встроить на любой сайт или форум. Попробуйте подвигать точку:

Данный сервис с успехом может применяться преподавателями как наглядное пособие при объяснении материала.

На сайте размещено руководство пользователя, перевод которого на русский язык давно не обновлялся. Предлагаем новый перевод руководства, в котором более подробно рассказано о параметрах, таблицах, списках, регрессиях.

Скачать руководство пользователя Desmos, перевод на русский язык — ЯндексДиск

Ссылки по теме

  • Канал desmos на youtube
  • Daily Desmos — графические загадки. Еженедельно публикуется некий график, задача — найти уравнения для воспроизведения графика. При этом не используются сложные функции, такие как гиперболический секанс, а нужно подобрать изящную комбинацию элементарных функций.
  • teacher.desmos.com — сервис для учителей, множество готовых заданий, можно создавать свои задания. Для выполнения работы ученики получают код доступа к заданию, учитель в личном кабинете видит результаты каждого ученика, и может давать индивидуальные подсказки или же пояснения для всего класса.
  • Научный калькулятор от Desmos
  • Dynamic and Dynamite Desmos Demos — большое количество примеров
  • Золотое сечение

    Фантастической красоты число:


    Одинаково выглядит во всех системах счисления. Константа названа в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия.

    Далее… »

    Избавимся от бесконечных корней:

    Золотое сечение φ или золотое число  — среднее арифметическое 1 и корня из 5.

    Портретик:

    Представление в виде непрерывной дроби:

    приводит к тому же квадратному уравнению.

    Обратная величина:

    φ — единственное число, которое, будучи прибавленным к 1, дает обратное себе число:
    1 + 0,618 = 1 : 0,618.
    Это родство операций сложения и умножения приводит к:

    Золотое сечение возникает в математике довольно часто.

    Числа Фибоначчи

    Числа Фибоначчи — это последовательность, в которой первые два числа равны 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

    1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

    Названа эта последовательность в честь Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи. В своем труде «Liber Abaci» (1202) Фибоначчи исследовал развитие популяции кроликов, предполагая, что изначально есть пара кроликов; со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов. Сколько пар кроликов будет через год?

    В конце n-го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количество новорожденных пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад. Таким образом:

    Рассмотрим последовательность отношений следующего числа Фибоначчи к предыдущему:
    1:1 = 1
    2:1 = 2
    3:2 = 1.5
    5:3 = 1,666…
    8:5 = 1,6
    13:8 = 1,625
    21:13 = 1,615…
    34:21 = 1,619…
    55:34 = 1,6176…
    89:55 = 1,61818…
    144:89 = 1,617977…
    233:144 = 1,61805…

    Отношения чисел Фибоначчи все ближе и ближе подходят к золотому сечению, но никогда не достигают его. Значит, любое число Фибоначчи примерно равно золотому числу, умноженному на предыдущее число Фибоначчи.

    Если в качестве отправной точки выбрать любые другие числа, в том числе дробные и отрицательные, например, 1 и 100000, то последовательность чисел, разумеется, изменится, а вот отношения между членами останутся неизменными, стремящимися к золотому сечению.

    Как мы получили выше, последовательность степеней золотого сечения также подчиняется правилу Фибоначчи.

    n-е число Фибоначчи есть ближайшее к целое число.

    Отсюда, если мы знаем, что F — это число Фибоначчи, то можем определить его номер по формуле:

    Проявления в природе

    …Отношение числа 0,618034 к 1 является математической основой формы игральных карт и Парфенона, подсолнуха и морской раковины, греческих ваз и спиральных галактик внешнего космоса. В основании очень многих произведений искусства и архитектуры греков лежит эта пропорция. Они называли ее «золотая середина».

    Плодовитые кролики Фибоначчи выскакивают в самых неожиданных местах.
    Золотое сечение проявляется в таких различных явлениях, как рост кристаллов, преломление светового луча в стекле, строение мозга и нервной системы, музыкальные построения, структура растений и животных.

    Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса располагаются согласно последовательности Фибоначчи.


    Семена подсолнуха растут по спирали одновременно в двух направлениях — по и против часовой стрелки, от центра цветка наружу.

    Эти числа создают приятную для человеческого глаза рисунок или структуру, поэтому часто используются в архитектуре, дизайне.

    Божественная пропорция

    Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей.

    Если меньшую часть отрезка взять равной 1, то отношение большей части к меньшей равно , и наоборот, отношение меньшей части к большей равно .

    В процентном округлённом значении — это деление величины на 62% и 38%.


    В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. На рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны φ​​​. Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно φ.

    Золотое сечение в архитектуре

    Если взять строение, например, храм, построенный по принципу золотого сечения, то при его высоте скажем 10 метров, высота барабана с куполом будут равны 3,82 см, а высота основания строения будет 6,18 см.

    Одно из выдающихся строений, выполненных по принципу золотого сечения – Смольный Собор в Питере. К собору ведут по краям две дорожки, и если приближаться по ним к собору, то тот будто приподнимается в воздухе.

    Храм Василия Блаженного — тоже соблюден принцип Золотого сечения.

    Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

    Золотое сечение и зрительные центры

    Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения».

    Любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

    Для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

    Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре — спирали.

    Золотой прямоугольник и спираль

    Золотой прямоугольник — прямоугольник, отношение сторон которого равно φ: это книги, открытки, плитки шоколада, монитор компьютера, экран телевизора, бумажник и множество других предметов.

    Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат, то получится снова золотой прямоугольник.

    Построение золотого прямоугольника: построить квадрат стороной 1, разделить на два равных прямоугольника, провести диагональ.

    Если построить прямоугольник со сторонами, соотношение которых будет равно пропорции золотого сечения, и вписать в него ещё один «золотой прямоугольник», в тот — ещё один, и так до бесконечности внутрь и наружу, то по угловым точкам прямоугольников можно провести спираль. Интересно то, что такая спираль совпадёт со срезом раковины наутилуса, а также другими встречающимися в природе спиралями.

    Литовская монета:

    Циклон над Исландией имеет спиральную структуру:

    Пропорции человеческого тела

    Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.

    В теле человека отношение длины предплечья к длине руки равно 1.618, т.е. золотому сечению.

    Идеальные пропорции тела человека, рисунок из Манасары:

    Важной характеристикой золотого сечения является динамичность и стремление к разворачиванию.

    Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

    Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

    Калькуляторы золотого сечения

    Фикулятор
    Калькулятор золотого сечения лица
    Golden Ratio
    Type Scale
    Modular Scale

    Что больше: pi^e или e^pi?

    Что больше: пи в степени e или e в степени пи?
    Что больше: a в степени b или b в степени a?
    На первый вопрос ответить очень легко с помощью калькулятора:

    и значит,

    Однако калькулятор не пояснил, почему это неравенство истинно.

    Далее… »

    Перепишем неравенство в эквивалентной форме:

    Теперь понятно, что нужно выяснить поведение функции

    Используя логарифмическое дифференцирование, найдем производную:

    Функция возрастает если 0 > x > e и убывает если x < e, точка x = e - точка максимума.
    Прямая y = 1 - горизонтальная асимптота.

    Поэтому для любого x > e выполняется неравенство

    1 случай. Для e <= a < b выполняется > , например,
    2 случай. Для 0 < a < b <= e выполняется < , например,
    3 случай. Для 0 < a < 1 < b, < поскольку < 1 и 1 < .
    4 случай. Для 1 < a < e < b нельзя сделать общий вывод, например,

    Трансцендентное число называется постоянной Гельфонда

    Трудно заподозрить число пи в ложной скромности — оно и здесь в центре композиции.

    Константу Гельфонда можно вычислить по рекуррентной формуле, в которую включаются только единица, двойка и основные арифметические действия. Сходимость очень быстрая:

    var
    k0, k, x: Extended;
    n: Integer;
    begin
    k0 := 1 / sqrt(2);
    for n := 1 to 100 do begin
    k := sqrt(1 - sqr(k0));
    k := (1 - k) / (1 + k);
    if Abs(k) <= MinExtended then
    Break;
    x := Power(2, 1 - n);
    x := Power(4 / k, x);
    k0 := k;
    Memo1.Lines.Add(Format('n = %d, x = %0.12f', [n, x]));
    end;
    end;

    Превосходство высшей математики

    Нередко встречается пренебрежительное отношение «взрослых» математиков к школьному курсу математики, принимаемое за снобизм (возможно, ошибочно).
    Попробую объяснить причины такого отношения.

    Далее… »

    Возьмем школьное определение множества натуральных чисел.

    Натуральные числа — это числа, используемые при счете предметов.


    Что волнует гуманитария в первую (и как правило единственную) очередь? Его волнует вопрос:
    Если у меня есть что-то, как я могу это использовать?
    Правильно, есть и более животрепещущий вопрос: если у меня чего-то нет, как я могу это отнять у другого?

    Но вернемся к строгому математическому определению:

    Множество натуральных чисел — это наименьшее индуктивное множество, содержащее 1.


    Для понимания этого определения необходимо проделать предварительную работу — ввести понятие индуктивного множества; определить, как в наборе бесконечных множеств выбрать наименьшее и т.д. Строгое определение сразу же вознаграждает ученика за усилия, наделяя натуральные числа всеми свойствами индуктивных множеств и позволяя использовать наработки теории множеств.
    Школьное определение не требует от ученика никаких усилий и не дает ничего для дальнейших логических построений.

    Другой пример — пресловутое ОДЗ, которое есть во всех школьных учебниках и которого нет в википедии. Логика проста — есть уравнение, надо его решить. Есть набор тождественных преобразований, применяя которые решение удается получить не всегда. Ладно, говорят составители учебников, давайте добавим нетождественные преобразования, не все, конечно, а только те, которые расширяют ОДЗ уравнения. Проблема — могут появиться «лишние» корни. Ничего, потом отбросим корни, которые не удовлетворяют исходному уравнению. Так возникает школьное понятие Проверка и одновременно появляется новая проблема — что делать, если корней бесконечно много: не напроверяешься.

    Допустим, неизвестная величина в знаменателе, но мы же не умеем делить на ноль — выкидываем те значения, которые приводят к делению на ноль. А еще мы не умеем извлекать квадратные корни из отрицательных чисел — выкидываем. Аналогично с логарифмами и всеми другими вещами, которые не поместились в школьный курс математики. То, что осталось после выкидывания всего, что мы не успели или не сумели объяснить, и называется Областью Допустимых Значений.

    В русском языке падежей больше чем шесть, но если закончить среднюю школу и не заниматься самообразованием, можно так и умереть в неведении. Не то чтобы жизненно необходимо изучать все 13 падежей в школе, но упомянуть об их существовании было бы можно.

    В начальной школе детей учат читать слова, как только они освоили несколько букв алфавита. Но это же не повод выделить эти первые буквы в отдельную категорию. Тем более заявлять, что кроме этих букв нет ничего.

    Если комплексный анализ не входит в школьную программу, значит, корней из отрицательных чисел не существует. Хотя в американских учебниках глава, посвященная комплексным числам, есть. И коническим сечениям. Зато нет гомотетии и тридцати формул тригонометрии.


    Оказывается, можно закончить школу и не знать что значит слово эллипс.
    Не определение, а вот просто:
    - Нарисуй эллипс.
    - А что это?

    Год за годом дети изучали окружность, параболу, гиперболу, потом не изучали эллипс, и вот пришло время магии — ребята, это же одно и тоже, нужно только найти правильную точку зрения! но нет, праздника не будет, давайте сократим часы на изучение математики, гуманитарии опять победили.



    (1) Снобизм – подчеркнутая гордость своей принадлежностью к определенному кругу общества, воспринимаемому как особый и лучший, и ревниво блюдущему свою чистоту (несмешиваемость с окружающим миром).
    (2) Множество A называется индуктивным, если для любого a ∈ A элемент a + 1 также принадлежит множеству A.
    (3) Пересечение множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.
    (4) Множеством натуральных чисел называется пересечение всех индуктивных множеств, содержащих 1.

    Copyright © All Rights Reserved · Green Hope Theme by Sivan & schiy · Proudly powered by WordPress