Источник: Эдвард Шейнерман. Путеводитель для влюбленных в математику (2018)
Глава приводится с незначительными сокращениями.

Что делает событие непредсказуемым?

Центральная идея теории вероятностей заключается в том, что некоторые феномены случайны: их нельзя предсказать в точности, поскольку они недетерминированы. Разумно и эффективно рассматривать некоторые феномены внешнего мира, такие как вращение брошенного кубика, в качестве случайных.

Но случаен ли бросок костей в действительности? Возможно, если мы детально знаем все характеристики кубика – от скорости вращения в зависимости от плотности воздуха в комнате до коэффициента трения о поверхность стола, мы сумеем в точности определить, какой гранью вверх он остановится. Возможно, вращение кубика не случайно – просто это чрезвычайно сложное явление.

Есть ли что-нибудь случайное? Физики утверждают, что некоторые феномены действительно непредсказуемы; таков основополагающий принцип квантовой механики. Поведение элементарных частиц, таких как электрон и фотон, нельзя предсказать, поскольку неопределенность – одно из их фундаментальных свойств.

Другие физические, биологические и социальные феномены могут быть чрезвычайно хорошо смоделированы с помощью теории вероятностей. Это потрясающе. Но насколько они случайны? Не исключено, что они чересчур сложны для понимания.

Так возникает главный вопрос этой главы: может ли система быть простой, полностью детерминированной, но все же непредсказуемой?

Функции

Ключевая идея этой главы – итерация функций. Под итерацией мы подразумеваем повторение одной и той же операции снова и снова. Что математики подразумевают под функцией?

Функции можно рассматривать в качестве своего рода «черных ящиков», преобразующих одно число в другое.

Вообразим, что у черного ящика есть входной лоток, куда мы засыпаем числа, дальше мы крутим ручку, машина делает свое дело, и на выходе из ящика вываливаются новые числа.

Например, представим себе ящик, выполняющий следующую операцию. Мы бросаем туда число, он возводит его в квадрат, добавляет к результату единичку и выплевывает то, что получилось. Дадим этой функции имя; назовем ее «возведи в квадрат и прибавь один».

Описывать действия функции словами обременительно, гораздо проще использовать математические символы. Что касается числа 3, мы вначале возводим его в квадрат: 3² = 9, а затем прибавляем единичку: 3² + 1 = 10. Как будет выглядеть результат с числом 4? Очевидным образом, 4² + 1 = 17.

Вместо длинных имен (вроде «возведи-в-квадрат-и-прибавь-один»), математики обозначают функцию какой-нибудь буквой, чаще всего f. Число, с которым имеет дело функция, помещают в круглые скобки сразу за буквой, например: f(4).

Эта форма записи удобна для описания функции:

f(x) = x² + 1.

Это значит, что функция превращает число x в число x² + 1.

Вот еще один пример. Определим новую функцию g таким образом:
g(x) = 1 + x + x².

Чему равно g(3)? Мы подставляем число 3 в формулу и получаем:
g(3) = 1 + 3 + 3² = 13.

Функции можно комбинировать, чтобы одна операция следовала за другой. Подумаем, чему равно f(g(2)).
Это выражение вынуждает нас вычислить функцию f от какой-то величины. От какой? Она зависит от того, чему равно g(2). А чему оно равно? g(2) = 1 + 2 + 2² = 7. А теперь посчитаем f(7) = 7² + 1 = 50. Если уложить всё в одну строчку, получится:
f(g(2)) = f(7) = 50.

Вернемся к определению итерации. Как я уже сказал, итерация означает просто повторение одной и той же операции снова и снова. Еще раз: итерация означает просто повторение одной и той же операции снова и снова. Еще раз: итерация означает просто повторение… (Окей, надеюсь, вы уловили юмор.)

Подумаем о функции f(x) = x² + 1. Запись f(f(x)) означает, что мы применяем операцию f дважды: берем число x, закидываем его в функцию f, а потом снова закидываем то, что получилось, в функцию f. Вот пример:
f(f(2)) = f(2² + 1) = f(5) = 5² + 1 = 26.

Можно проводить итерацию сколько угодно раз. Например, трижды:
f(f(f(2))) = f(f(5)) = f(26) = 26² + 1 = 677.

Когда мы выходим на четвертую итерацию, запись становится громоздкой. Поэтому вместо f(f(f(f(x)))) мы будем записывать f⁴(x), подразумевая, что верхний индекс означает не возведение в степень, а последовательное применение функции. Для положительного целого числа n выражение fⁿ(x) означает:

Итерация логистического отображения

Сейчас мы проитерируем функции вида f(x) = mх(1 – х), где m – некое число. Это семейство функций называется логистическим отображением. Во всех случаях мы будем начинать с числа x = 0.1, итерировать функцию и наблюдать за происходящим. Мы начнем с функции:
f(x) = 2,5x (1 – x).
Начнем с x = 0,1 и на первом шаге посчитаем:
f(0.1) = 2.5 × 0.1 × (1-0.1) = 2.5 × 0.1 × 0.9 = 0.225.
Применим f снова:
f ²(0.1) = f(0.225) = 2.5 × 0.225 × (1-0.225) = 2.5 × 0.225 × 0.775 = 0.4359375.
Прибегнем к помощи компьютера. Программа, итерирующая f, даст такие результаты:

Заметим, что успешное итерирование все больше и больше приближает нас к 0.6. Есть хороший способ продемонстрировать это наглядно. Отметим на графике величины f(0.1), f(f(0.1)), f(f(f(0.1))) и т. д. На оси абсцисс нанесем номера итераций, n. На каждом шаге будем отмечать значение fⁿ(x) («нулевая» итерация – это наше начальное число 0.1). Соединим все точки отрезками. Вот что получится:

Мы видим, что итерации f(x) сходятся к числу 0.6.

А что, собственно, особенного в числе 0,6? Заметим, что

f(0.6) = 2.5 × 0.6 × (1-0.6) = 2.5 × 0.6 × 0.4 = 0.6.

Число 0.6 называют неподвижной точкой функции f, поскольку применение функции к этому числу не меняет его: f(0.6) = 0.6.

Продублируем эксперимент с другой функцией того же семейства; на сей раз возьмем множитель m = 2.8; таким образом, функция приобретает вид f(x) = 2.8 x (1 – x). Как и в предыдущем случае, мы начнем итерирование с x = 0.1. Вот первые 10 значений:

Похоже, итерации выплясывают вокруг 0.64. Продолжим итерировать и построим график:

В пределах первых 10 итераций значения функции слегка колеблются вверх и вниз, но уже на 30-й они выравниваются. На какой величине? Это число между 0 и 1, такое, что f(x) = x. Нам остается решить незамысловатое уравнение:

Итерации f(x) = 2.8 x (1 – x) сходятся к числу 0.642857.

Итерирование логистического отображения f(x) = m x (1 – x) можно рассматривать в качестве простой эволюционирующей системы. Число x показывает состояние системы, а функция f диктует, как система эволюционирует при смещении на один шаг. В двух рассмотренных нами случаях (m = 2.5 и m = 2.8) долгосрочное поведение системы приводит к «равновесию» в неподвижной точке функции.

Мы продолжим исследование итераций логистического отображения в случае m = 3.2. Как и в предыдущих случаях, мы начнем с х = 0.1. Вот первые десять значений:

Что происходит? Итерации не сходятся к одной величине. Значения на четных шагах становятся меньше (это примерно 0,66; 0,64; 0,62; 0,6; 0,57), а на нечетных – растут (примерно 0,72; 0,74; 0,75; 0,77). Значения расходятся, а не сходятся!

Начертим график первых 30 итераций, чтобы изобразить наглядно проведение системы:

Посмотрите! Она не выравнивается к одному числу, а осциллирует между двумя величинами. Доведем вычисления до 50-й итерации. Вот последние строчки таблицы:

Долгосрочное поведение системы – осцилляция между двумя величинами, s = 0.799455… и t = 0.5130445… Эти числа таковы, что f(s) = t, а f(t) = s. Правило осцилляции можно изобразить так:

Какое еще поведение функции мы можем наблюдать, итерируя логистическое отображение? В следующем пункте нашей экспедиции m = 3.52. Посмотрим на график итераций f(x), f²(x), f³(x), …

А вот таблица итераций:

Долгосрочное поведение функции занятно, но по-прежнему стабильно. Система идет по циклу из четырех величин ad infinitum, как показано на иллюстрации.

От порядка к хаосу

Мы проследили долгосрочное поведение итераций логистического отображения f(x) = m x (1 – x). Итерации всегда приводили нас к стабильности. В некоторых случаях (m = 2.5 и m = 2.8) система сходилась к одной величине: неподвижной точке функции f. В других случаях (m = 3.2 и m = 3.52) она приобретала стабильный, предсказуемый ритм.

Жизнь хороша. Мы знаем исходную величину: x = 0.1. И мы знаем правило, по которому переходим от одного шага к другому: f(x) = m x (1 – x). Разумеется, мы можем предвидеть поведение функции на любом шаге до бесконечности. Верно?

Настало время для последнего примера: m = 3,9. Доверим подсчет первых 10 итераций компьютеру:

Что происходит? Неясно. Попробуем изобразить на графике первые 30 итераций:

Хм… Ритм не прослеживается. Спокойствие, только спокойствие! Изобразим на графике первые 100 итераций.

Колебания величин выглядят случайными. Разумеется, на самом деле это не так! Значение функции на каждом шаге можно точно подсчитать по формуле f(x) = 3,9 x (1 – x). Но итерации логистического отображения никогда не приведут к стабильности. Хаос будет длиться вечно.

Великолепно: итерации беспорядочны, но система предсказуема на 100 %!
• Мы знаем исходную величину: x = 0.1.
• Мы знаем правило перехода от одного шага к другому: x → f(x) = 3.9 x (1 – x).

Следовательно, мы можем вычислить состояние системы, скажем, на тысячной итерации. Верно?
Неверно.

Мы загнаны в угол стечением двух обстоятельств: ошибок округления и чувствительности системы к исходному состоянию. Обсудим каждое из них.

Когда мы проводим вычисления на калькуляторе или на компьютере, результат зачастую оказывается приблизительным. Например, если мы делим 1 на 3, наши приборы выдают десятичную дробь 0,3333333. В ней, скажем, семь знаков после запятой. На самом деле троек после запятой бесконечно много, но калькулятор ограничивается конечным количеством цифр. После нескольких итераций функции f(x) = 3,9 x (1 – x) количество знаков после запятой достигает дюжины. Рано или поздно компьютер выдает лишь приблизительный, а не точный результат. Обычно мы не придаем значения таким ошибкам. Если мы подсчитываем, сколько картин уместится на пустой стене, нас не волнует ошибка на одну триллионную. Почему ошибки округления имеют значение в данном случае?

Они ведут нас к загвоздке – чувствительности системы к исходному состоянию. Посчитаем итерации нашей функции, начиная с двух почти что равных величин: х = 0.1 и х = 0.10001. Интуитивно мы предполагаем, что скромная разница между исходными величинами не играет роли. Так ли это? Что произойдет?

Замечу, что первые десять итераций или около того не приводят к значительным отличиям. Но затем траектории начинают расходиться. Это можно проиллюстрировать на графиках эволюции той и другой системы. Сплошная линия соответствует итерированию системы с исходным значением 0.1. Пунктирная линия иллюстрирует итерирование системы с исходным значением 0.10001.

Каково значение f^1000 (0,1)? К чему мы придем, если мы проделаем тысячу итераций функции f(x) = 3.9 x (1 – x)?

Разумеется, мы доверяем вычисления компьютеру, но получается какая-то чепуха. Проиллюстрируем этот факт, проделав вычисления трижды с разным уровнем точности (заданным количеством знаков после запятой). Мы получим следующие результаты:

Ни одна из этих величин не равна f ^1000 (0.1) в точности.

Мы будем биться до последней капли крови. Компьютер может работать с произвольной точностью. Он может не округлять полученное значение. К чему это приведет?

Точное значение f ⁶ (0.1) имеет длину 127 знаков после запятой, а точное значение f ⁷ (0.1) растягивается после запятой на 255 знаков. Количество знаков после запятой увеличится примерно вдвое на каждой итерации. Нет настолько мощного компьютера, чтобы вычислить точное значение f^1000 (0.1).

К чему мы пришли? Несмотря на то что мы знаем исходное состояние системы и правило перехода от одного шага к другому, мы не в силах в точности предугадать ее состояние на 1000-м шаге.

Можно доказать, что точное значение f^1000 (0.1) лежит между 0 и 1, и задаться вопросом: какова вероятность того, что f^1000 (0.1), скажем, больше 0,5?

Ответ: либо 0, либо 1, потому что здесь нет ничего случайного. Либо f^1000 (0.1) > 0.5, либо f^1000 (0.1) ≤ 0.5, третьего не дано. Никаких «может быть», ничего случайного.

Даже настолько простая система способна оказаться хаотичной. Она абсолютно детерминирована и в то же время непредсказуема.

Огромное количество математических систем ведет себя хаотично, и многие из них позволяют строить модели явлений природы, например в метеорологии.

3x + 1, или проблема Коллатца

До сих пор мы говорили об итерациях логистических отображений.

Логистическое отображение – функция, заданная простой алгебраической формулой. Однако функции можно задавать иначе. Функция F, о которой сейчас пойдет речь, определена исключительно для положительных целых чисел и задана следующим образом:

Эта функция задается двумя простыми алгебраическими формулами, но мы выбираем формулу в зависимости от того, четное число x или нечетное.

Пример:

• F (9) = 28. Число 9 – нечетное, поэтому мы руководствуемся формулой 3х + 1 и получаем 3 × 9 + 1 = 28;
• F (10) = 5. Число 10 – четное, поэтому мы руководствуемся формулой x/2 и получаем 10/2 = 5.

Вне зависимости от того, четное число мы подставляем в функцию или нечетное, ее значение будет целым положительным числом.

Короче говоря, если x – целое положительное число, F (x) – тоже целое положительное число.

Мы можем итерировать нашу функцию, потому что выходное значение удовлетворяет условию, наложенному на входное значение. Что мы получим, итерируя функцию при начальном значении x = 12?

• F (12) = 6, потому что число 10 четное;

• F² (12) = F (6) = 3, потому что число 6 четное;

• F³ (12) = F (3) = 10, потому что число 3 нечетное;

• F⁴ (12) = F (10) = 5.

Вот удобный способ проиллюстрировать итерации. Мы записываем 12 → 6, подразумевая, что значение функции от 12 равно 6. Мы можем записать итерации F следующим образом:

Тройка 4 → 2 → 1 повторяется! А что дальше? Так как F(1) = 4, F(4) = 2, F(2) = 1, следующие три значения те же самые.

Другими словами, когда мы дошли до числа 1, тройка 4 → 2 → 1 будет повторяться до бесконечности.

Начнем с другой величины, скажем с 9. Вот что мы имеем: 9 → 28 → 14 → 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Вот еще один впечатляющий ряд итераций:

27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137 → 412 → 206 → 103 → 310 → 155 → 466 → 233 → 700 → 350 → 175 → 526 → 263 → 790 → 395 → 1186 → 593 → 1780 → 890 → 445 → 1336 → 668 → 334 → 167 → 502 → 251 → 754 → 377 → 1132 → 566 → 283 → 850 → 425 → 1276 → 638 → 319 → 958 → 479 → 1438 → 719 → 2158 → 1079 → 3238 → 1619 → 4858 → 2429 → 7288 → 3644 → 1822 → 911 → 2734 → 1367 → 4102 → 2051 → 6154 → 3077 → 9232 → 4616 → 2308 → 1154 → 577 → 1732 → 866 → 433 → 1300 → 650 → 325 → 976 → 488 → 244 → 122 → 61 → 184 → 92 → 46 → 23 → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Мы снова дошли до 1, но после ста с лишним итераций.

Гипотеза Коллатца заключалась в том, что вне зависимости от того, с какого целого положительного числа x мы начинаем, последовательность итераций рано или поздно достигает единицы и тройка 4 → 2 → 1 повторяется до бесконечности.

Проблема была решена самым умопомрачительным образом – штурм потребовал чудовищной дотошности математиков-профессионалов и математиков-любителей.

По состоянию на апрель 2019 года проверены все натуральные числа меньше чем 1 152 921 504 606 846 976 и каждое из них за конечное количество шагов соответствовало условиям гипотезы Коллатца. (из Википедии)

 

---

Примечание Knitting club: Все еще не верите в эффект бабочки?

Ниже приводится глава из книги. Материал доступен самым младшим школьникам.

Источник: Эдвард Шейнерман. Путеводитель для влюбленных в математику (2018)

Полезен и практический вывод: не спешите избавляться от таких качеств, как честность, способность к состраданию, трудолюбие, которые окружение считает слабостями. Лучше смените окружение.

Нетранзитивные игральные кости

Мир одержим выстраиванием рейтингов. Мы составляем рейтинги атлетов, спортивных команд, больниц, ресторанов, фильмов, поп-музыки, студентов, коллег, городов, работы, машин, и т. д., и т. д. Нам нравится знать «самое-самое» – то, что входит в «первую десятку».

Это все чепуха, забавная чепуха, но тем не менее. Среди прочего чепуха происходит от того, насколько субъективна методология оценки. Если определенный ресторан в вашем городе признан лучшим, это не обязательно ваш любимый ресторан. Ваши предпочтения могут отличаться от суждений ресторанных критиков, а их взгляды на один и тот же вопрос зачастую прямо противоположны.

Можно выбрать объективную систему оценивания и все равно получать ничтожные результаты: например, оценивать фильмы по сумме выручки от их проката – это объективно и поддается подсчету. Можно аргументировано доказать: чем лучше фильм, тем больше людей жаждут заплатить за то, чтобы увидеть его. Но бывает такое, что фильм, сорвавший кассу, навевает на вас скуку, а малобюджетный инди-фильм западает в душу. Выручка от проката обычно говорит скорее о маркетинге, а не качестве картины.

Но, предположим, мы преодолели субъективность и достигли всеобщего соглашения относительно того, как сравнивать конкурентов. Попробуем выпарить идею ранжирования до ее математической сути. Улетучится ли тогда вся чепуха?

Две игральные кости

Сыграем в простую игру. Каждый бросит кубик, и у кого выпадет больше очков, тот выиграет. Если мы возьмем два обыкновенных кубика, где грани пронумерованы от одного до шести, то нет смысла говорить, что один кубик чем-то лучше другого. Они одинаковые.

Теперь сменим числа на гранях. Назовем наши игральные кости A и B.

Какая из них лучше, A или B? Какую вы предпочтете?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим все вероятности: как могут выпасть игральные кости? Если игральная кость A выпала числом 2 вверх, то для сравнения есть шесть вариантов того, как может выпасть игральная кость B. Если выпало число 3, вариантов для сравнения опять-таки шесть. Таким образом, есть 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 × 6 = 36 возможностей, и все они равновероятны. Иногда побеждает обладатель игральной кости A, иногда – обладатель игральной кости B (все числа на гранях разные, поэтому нет варианта сыграть раунд вничью). Кто выигрывает чаще?

Составим схему, включающую все 36 возможных комбинаций, где отмечено, кто выигрывает в каждом отдельном случае, A или B.

Становится очевидно, что игральная кость B лучше. В борьбе один на один B одолевает A чаще, чем наоборот. На схеме видно, что A побеждает в 15 случаях из 36, в то время как B – в 21 случае из 36.

Профессиональные игроки скажут, что шансы на победу A равны 15 против 21, а шансы на победу B равны 21 против 15. Вероятность того, что выиграет A, равна 15/36 (или 42 %), вероятность того, что выиграет B, равна 21/36 (или 58 %).

Как ни назови это преимущество, но B явно лучше A.

Соперник

Добавим еще одну игральную кость. Внимание, появился новый соперник! Пусть на грани C нанесены числа, указанные на схеме.

C рьяно вызывает на бой B. Кости кидают, и побеждает та, где выпало наибольшее число. Какая из них лучше, B или C? Как и раньше, начертим схему и посмотрим, какая игральная кость имеет больше шансов на победу.

Мы видим, что C выигрывает гораздо чаще, чем B. Вероятность победы C равна 25/36 (около 69 %), в то время как B побеждает с вероятностью 11/36 (около 31 %).

В схватке один на один C лучше B, а B лучше A.

Значит, C лучше всех, верно?

Триумф неудачника

Казалось бы, среди трех игральных костей A слабее всех, а C сильнее всех. Что будет, если C сразится с A? Разумеется, C победит?

Начертим снова схему всех возможностей:

Посмотрите! A лучше C. Игральная кость A выигрывает с вероятностью 21/36 (около 58 %), а C – с вероятностью 15/36 (около 42 %).

Мы пришли к трем ошарашивающим выводам:

– B лучше A;

– C лучше B;

– A лучше C.

Ни одну из игральных костей нельзя назвать «лучшей», и ранжировать их бессмысленно.

Сколько еще рейтингов в нашей жизни лишены смысла?

---

Итак, бинарное отношение R на множестве X называется транзитивным, если для любых трёх элементов a,b,c из выполнения отношений a R b и b R c следует выполнение отношения a R c.

Пример транзитивных отношений: 5<10, 10<15, значит, 5<15. Прямая a параллельна прямой b, прямая b параллельна прямой с, значит, прямая a параллельна прямой с.
Пример нетранзитивных отношений: волк ест козу, коза ест капусту, но волк не ест капусту.
Пример антитранзитивных отношений: игра в камень, ножницы, бумагу: бумага побеждает (накрывает) камень, камень побеждает (затупляет) ножницы, ножницы побеждают (разрезают) бумагу.

Это свойство и дает обоснование конструкции рассматриваемого центроискателя.
Центроискатель представляет собой угольник, длина одного из сторон которого вдвое больше ширины другой стороны (AB = 2h, см. черт. 2).

Черт. 2

Около кромки BC расположена равномерная шкала, масштаб которой вдвое больше масштаба шкалы, расположенной около кромки MN (B и M — соответственно начала шкал).

Черт. 3

Чтобы отыскать центр заданной окружности, надо приложить центроискатель так, чтобы вершины А и В оказались на дуге окружности (черт. 3). Тогда центр окружности находится против деления шкалы MN, имеющего то же числовое значение, что и точка, в которой окружность пересекает шкалу BC.

Использование в учебном процессе данного центроискателя позволяет показать применение свойства средней линии прямоугольного треугольника в практических целях.

Рассматриваемый центроискатель можно использовать и как прибор для деления пополам отрезков и углов.

Например, чтобы разделить пополам данный отрезок KT (черт. 4), нужно наложить прибор так, чтобы вершина А оказалась против одного конца отрезка, а кромка BC прошла через другой конец отрезка. Тогда MN, являясь средней линией в образовавшемся треугольнике KBT, разделит KT пополам.

Черт. 4

Для деления пополам данного угла EFD (черт. 5) прибор прикладывается так, чтобы А и В оказались на сторонах данного угла, a MN проходила через его вершину F. Тогда MN займет положение биссектрисы угла.

Черт. 5

---

Еще один центроискатель для самодельщиков:

Помещаем заготовку в угол напротив оргстекла и проводим линию вдоль 45 градусов по краю плексигласа. Поворачиваем заготовку и отмечаем еще одну линию, которая и даст вам центр. Можно сделать и третью линию, но она, как правило, необходима при использовании инструмента в первый раз, чтобы убедиться, что ваш измерительный инструмент является точным.
Подробнее здесь.

Можно работать с программой прямо в браузере, а можно скачать и установить на свой компьютер или телефон отдельные приложения.

Самая замечательная особенность в GeoGebra — это двойное представление объектов: каждому выражению в алгебраическом окне соответствует объект в геометрическом окне и наоборот.
Команды можно вводить как на английском, так и на русском языках.

Основные возможности

• Построение графиков функций
• Построение кривых, заданных параметрически в декартовой системе координат
• Построение конических сечений
• Построение геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой-либо кривой или многоугольнику (инструмент Локус).
• Действия с матрицами, вычисление определителя
• Аппроксимация множества точек кривой заданного вида
• Работа с таблицами
• Анимация

Графический калькулятор

В этой заметке рассмотрим Графический калькулятор

Экран разбит на несколько областей, аналогично тому как это сделано в Desmos. Слева расположена панель для ввода уравнений (панель объектов), в центре отображаются графики и объекты (полотно), внизу всплывающая панель виртуальной клавиатуры, вверху — панель инструментов, справа — свойства выбранной фигуры. Есть и другие панели, отображение которых пока не будем включать.

Панель инструментов

Геогебра предоставляет широкий спектр инструментов для графического представления объектов. Перечислим их в том же порядке, в котором расположены иконки.

Перемещение, фигура от руки

Режим перемещения позволяет выбирать и передвигать объекты мышкой и клавишами со стрелками. Клавиша Delete позволяет удалить выделенный объект или группу объектов. Перейти в режим перемещения можно нажатием клавиши Esc. Также в любом режиме можно перетаскивать фигуры правой кнопкой мыши

Пример. Введем функцию f(x) = x³ - 2x² в поле ввода текста; сразу же будет отображен график функции. Введем команду производная[f]. Снимем галочку «Закрепить объект» в свойствах этой кривой. Выберем режим «Перемещение». Будем перемещать график с помощью мыши и наблюдать за изменением уравнения функции и ее производной.

Фигура от руки и карандаш:

Инструмент Карандаш — можно писать на чертеже как ручкой.
В режиме «фигура от руки» каракули, нарисованные мышкой, волшебным образом превращаются в геометрические фигуры. Программа пытается угадать что нарисовано и преобразовать, угадывает даже некоторые функции.

Точка, пересечение, середина отрезка

Группа инструментов под названием Точка:

Точка на объекте отличается от обычной точки тем, что при перемещении она ограничена контуром объекта-владельца.
Команда: Point
Команда для задания точки зависит от настроек, по умолчанию T = (x,y).
Здесь вместо координат x, y могут быть числовые константы или другие переменные:
T = (3, f(a)).
Пересечение — позволяет создать точку пересечения двух выбранных объектов.
Команда: Intersect

Примеры:
Point[{1, 2}] — нарисовать точку с координатами (1,2).
или просто S=(1,2) — нарисовать точку S с координатами (1,2)

Intersect[y = x + 3, y=-2x+5] — построить точку пересечения двух прямых, сами прямые нужно строить отдельными командами.

Более сложный пример. Зададим функцию параметрически, введем выражения
a = Curve[cos(t), sin(t), t, 0, π]
b = Curve[cos(t) + 1, sin(t), t, 0, π]
и попробуем найти точку пересечения этих кривых a и b на отрезке от 0 до 2:
Intersect[a, b, 0, 2].
Результат:

Символы x, y, z не нужно использовать для именования объектов. Эти имена зарезервированы для получения координат точки. Например:
B = (x(T), s) — построить точку B с абсциссой, совпадающей с абсциссой точки T
С = (5, y(T)) — построить точку С с абсциссой 5 и ординатой, совпадающей с ординатой точки T.

Команда для получения длины отрезка:
Расстояние[M, C]

Команда для нахождения середины отрезка или центра коники:
C=Середина(A,B)
Команды: Midpoint, Length, Distance

Последние два инструмента для нахождения корней и точек экстремума выбранной функции:

Команды: Корень, Экстремум, НулиФункции, Min

Прямая, отрезок, луч, вектор

Набор инструментов для построения прямой, проходящей через две точки, отрезка по двум точкам, отрезка с заданной длиной, луча, вектора, ломаной линии.
Команды: Прямая / Line, Отрезок / Segment, Луч / Ray, Вектор, Ломаная, Перенести

Перпендикулярная прямая, биссектриса, касательная

Набор инструментов позволяет построить:
- перпендикулярную прямую, проходящую через заданную точку, к указанной прямой
- параллельную прямую, проходящую через заданную точку, к указанной прямой
- срединный перпендикуляр по двум точкам или к отрезку
- биссектрису угла по трем точкам или двум прямым
- касательную к окружности, конике или функции через точку
- поляру или диаметр по точке или прямой, и конике.

Инструмент Аппроксимация позволяет построить линейную регрессию по набору точек. Пример:
FitLine[{(-2, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 3), (5, 4)}]
результатом будет прямая y=0.4x+2
Синонимы ЛинейнаяАппроксимацияПоX, ЛинейнаяАппроксимацияПоY

Инструмент Локус.

Многоугольник

Набор инструментов позволяет построить:
- многоугольник по заданным вершинам
- правильный многоугольник по вершине, стороне и числу сторон
- жесткий многоугольник — можно указать последовательно вершины, а можно кликнуть по существующему многоугольнику, чтобы сделать с него копию.
- векторный многоугольник.

Команды: Многоугольник

Окружность, сектор, дуга

Набор инструментов для построения окружностей, заданных разными способами, дуг, секторов.
Команды: Окружность, Полуокружность, СекторКруга, ОписаннаяДуга

Эллипс, парабола, коника

Набор инструментов для построения эллипса, гиперболы, параболы, коники по пяти точкам

Команды: Эллипс, Гипербола, Парабола, Коника

Угол, наклон прямой, периметр, площадь

- Построение угла по трем точкам или двум прямым (указывать в порядке против часовой стрелки), угла заданной величины.
- Расстояние между двумя точками, длина отрезка, периметр многоугольника, длина окружности или замкнутой кривой.
- Площадь многоугольника, окружности или коники.
- Наклон прямой (угловой коэффициент)
- Создать список — щелкнуть по элементам, затем снова щелкнуть по иконке инструмента

Отношение объектов
Инструмент позволяет выбрать два объекта и получить сообщение о равенстве некоторых величин этих объектов.
* две прямые перпендикулярны?
* две прямые параллельны?
* два объекта равны?
* прямая является касательной или секущей к конике?
* точка лежит на прямой или конике?

Исследователь функции

Выбрать функцию, указать интервал, будет сформирована таблица с данными — точки экстремума, интеграл, площадь, корни, длина.

Команды: Угол, Повернуть, Расстояние, Периметр, Периферия, Наклон. Список обозначается фигурными скобками

Отражение, поворот, гомотетия

Отражение относительно прямой: выбрать исходный объект и прямую (отрезок)
Отражение относительно точки: выбрать исходный объект и точку

Отражение относительно окружности:

Поворот вокруг точки: указать объект, центр вращения и угол поворота.
Параллельный перенос по вектору: указать исходный объект и вектор переноса.

Гомотетия относительно точки: указать проектируемый объект, центр и коэффициент гомотетии.

Команды: Отразить, Повернуть, Перенести, Гомотетия

Ползунок, текст и другие элементы

Ползунок (слайдер) можно создать как с клавиатуры в панели объектов: ввести, например, a=2 и затем выбрать «Показывать объект», так и с помощью инструмента Ползунок. Вы можете изменять значение ползунка, передвигая его мышью или нажимая клавиши со стрелками.

Пример. Ввести команды:
A=(1,1)
r=3
окружность(A,r)

Будет создана точка A, ползунок r и окружность с центром в точке A и радиусом r, который можно менять вручную или включить анимацию.

Ползунок скрыт на чертеже, при желании показать его щелкните по кружку слева от объекта.
Ползунок может быть горизонтальным или вертикальным, регулируется скорость анимации, длина ползунка.

Изображение

Добавить на чертеж картинку из файла. Можно регулировать прозрачность. Можно сделать фоновым — тогда сетка просвечивает через рисунок.

Текст — создание надписи, пояснительного текста. Поддерживается latex. Надпись можно привязать к определенной точке на чертеже или к месту на листе, абсолютно или относительно — см. свойства.
Для создания динамического текста, который будет отображать изменение параметров объекта, выберите объект из списка объектов. Имя объекта в поле ввода заключается в рамку, на чертеже будет показано значение объекта (например, для отрезка будет показана его длина). Правый клик по рамке позволяет переключаться между определением и значением объекта. Если перетащить объект из панели объектов на полотно, надпись будет создана автоматически.

Можно выполнять алгебраические операции или применять команды к объектам, просто вписывая команды в текст. Результат операций будет динамически показан на чертеже.
Пример. Ввести команды:

a=10
b=30
c=a+b

Объекты a и b будут преобразованы в ползунки. Перетащите последний объект на чертеж — будет создана надпись. По мере изменения параметров a и b с помощью ползунков сумма этих объектов будет автоматически отображаться на чертеже.

Команды: LaTeX, двойные кавычки

Доступны также такие элементы, как кнопка, флажок, окно ввода.

Флажок можно использовать, например, для управления видимостью других объектов. С окном ввода связан другой объект, например, отрезок, и поле ввода будет управлять длиной этого отрезка.

Масштаб, перемещение полотна, скрытие объекта

Копировать стиль — выбрать объект-источник стиля и объект, к которому следует применить стиль.

Ссылки по теме

* Графический калькулятор Geogebra
* Форум GeoGebra
* Список всех команд GeoGebra

Рассмотрим доказательство этой формулы из обычного учебника по геометрии за 9 класс.

В двух словах план доказательства таков: вписываем в окружность правильные многоугольники (или описываем их вокруг окружности — на результат это не повлияет). При увеличении количества сторон периметр многоугольника будет все меньше отличаться от длины окружности.

Доказываем, что длина окружности пропорциональна радиусу. Осталось найти коэффициент пропорциональности, современное обозначение для которого ввел Эйлер: π — это первая буква в греческом слове περιφερεια — периферия, что означает “окружность”.

В давние времена, более двух тысяч лет назад, Архимед посчитал периметр 96-угольника, поделил на диаметр вписанной окружности и получил известное приближение
, которым мы с успехом пользуемся в бытовых вычислениях и по сей день. Впрочем, в Древнем Египте за 1500 лет до Архимеда использовали хорошее приближение для числа пи:

Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда по имени его первого владельца):

Это древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии (1985—1795 гг. до н. э.), переписанное писцом по имени Ахмес на свиток папируса высотой 32 см и шириной более 5 метров. Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. Папирус Ахмеса показывает, что древние египтяне с лёгкостью справлялись с измерением площади треугольника и относительно точно определяли приближение числа пи, тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. При этом древние египтяне ещё не знали таблицу умножения и все вычисления были крайне громоздкими.

А почему, собственно, не измерить π с помощью веревочки, линейки или прибора поточнее? Древний грек нам гордо ответил бы: «Возиться с приборами — это дело раба, привычного к ручному труду, а свободному человеку приличествует полагаться лишь на силу ума». Вот как, оказывается, рабовладельческий образ мысли проявляется даже в такой отвлеченной науке, как математика.

Школьный учебник — не научная монография, поэтому доказательство не очень строгое. Пропущен важный шаг. Для того, чтобы показать это, сохраним общую идею, но немного изменим процедуру — опишем квадрат вокруг окружности. Для определенности возьмем окружность диаметра 1, тогда периметр квадрата 4. Теперь удалим “лишние” уголки квадрата, сделав тем самым линию ближе к окружности:

Периметр полученной фигуры по прежнему равен 4.

Продолжая убирать уголки, получим зубчатую линию, длина которой равна 4, и которая с каждым шагом приближается к окружности, а значит, π равно 4:1 = 4. Архимед ошибался?

Кажется, что фигура, которая получается из квадрата, будет в точности повторять круг: ведь все отрезки, из которых состоит фигура, будут находиться сколь угодно близко к окружности. Несмотря на это, фигура кругом никогда не станет, потому что сколь малыми бы ни были её элементы, они представляют собой «угловатую» ломаную линию, периметр которой не меняется.

Данное «доказательство» представляет собой софизм, который заставляет внимательнее отнестись и к доказательству из учебника.

Еще один пример. Длина кривой не обязана иметь предел: увеличивая частоту колебаний, можно получить кривую сколь угодно большой длины.

Итак, предельный переход в доказательстве должен быть обоснован, так как далеко не всегда геометрическая “близость” двух кривых в пределе означает равенство их длин.

Обратимся к учебникам 60-х годов прошлого века, по которым учились нынешние академики и профессора.

Легендарный учебник по геометрии А.П.Киселева, 8 — 9 класс, Киев, 1966 год:

Раздел о вычислении длины окружности начинается с введения нового понятия — понятия о пределе, “имеющего исключительно большое значение во всей математике”.

Как получилось, что этот параграф убрали из программы школьного курса? уму не постижимо. Сумма бесконечной геометрической прогрессии — есть, начала анализа и понятие производной — есть, а операции предельного перехода нет: сократили. Товарищи-составители школьной программы, верните, пожалуйста, эту тему в наши учебники: предельный переход — одна из основных математических операций, такая же как сложение, умножение, вычитание, деление и возведение в степень.

Всего пять страниц в учебнике Киселева занимает параграф о том, что такое предел, почему не всегда этот предел существует и доказательство теоремы о том, что монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет определенный предел… и разрозненные главы обретают целостность, вывод формулы длины окружности из карточного домика, готового в любую секунду рухнуть под пытливым взглядом ученика, превращается в строгое доказательство.

Следует отметить, что сейчас учебники в старших классах многоуровневые, и включают материал для обычных детей и для тех, кто занимается предметом углубленно. Упомяните о теореме Вейерштрасса хотя бы в профильном учебнике, чтобы не выдавать за доказательство то, что доказательством не является.

Ссылки по теме:

• А. П. Киселев, Н. Рыбкин. Геометрия. Учебник и сборник задач для 8 — 9 класса, издание пятое. Под редакцией проф. Н. А. Глаголева. Киев, 1966 г. — с. 80 — 93
• А. П. Киселев. Геометрия (планиметрия, стереометрия), Москва, 2004 г — переиздание учебника, вышедшего в 1892 г — с. 177 — 190
• А. Г. Мерзляк и др. Геометрия, учебник для 9-го класса, Харьков, 2009 г (не полный) — с. 63 — 67
• Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику, Москва, 1997 г — с. 181 — 196
• Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова. Алгебра и элементарные функции 9 класс, Москва, 1969 г — с. 289 — 316 — очень понятное и подробное изложение, закономерно перетекающее в рассмотрение арифметической и геометрической прогрессий.
• Папирус Ахмеса — Википедия

На первый взгляд, графики имеют одну точку пересечения, и из соображений симметрии она лежит на прямой y=x.

Не будем спешить с выводами. Увеличим область в районе точки пересечения:

Desmos почему-то выделил три точки. Сделаем еще крупнее:

Оказывается, синий график, прежде чем уйти ниже зеленого графика, делает почти незаметный финт ушами, тем самым добавляя еще две точки перечения — x=0,5 и x=0,25. Подстановкой можно убедиться, что это точные корни нашего уравнения.

Заменим в уравнении 1/16 на 1/256 — разрыв между кривыми увеличился, три точки пересечения хорошо видны:

Для сравнения уравнение с 1/2 вместо 1/16:

Как мы и предполагали вначале, только одна точка пересения. Качественный скачок во взаимном расположении кривых происходит, по всей видимости, где-то между 1/2 и 1/16 (примерно 0.0659855).

Вот как это уравнение решила WolframAlpha:

Точки пересечения любезно выделены.

Вывод: графический метод решения уравнений имеет ограничения, связанные с тем, что линии графиков не идеально тонкие и могут сливаться на определенном участке, и тем не менее, компьютерные построители графиков (а кто сейчас строит графики вручную) обладают достаточным интеллектом, чтобы выделить точки пересечения и не дать пользователю потерять существенные детали.

Более подробно это уравнение проанализировано в статье:
Сидоров Ю. Об одном замечательном уравнении. Журнал «Квант», 1990-05

Очевидно, что

И поскольку , получаем тождество Эйлера для арктангенсов:

Когда p=q=1, получаем частный случай, который мы уже рассматривали в заметке про число пи:

Когда p=2, q=1, получаем

Подставляем в предыдущее тождество, получаем формулу Хаттона:

С помощью формулы Хаттона, в сочетании с разложением арктангенса в ряд, в 1847 году датский математик Томас Клаузен (Clausen) вычислил 248 знаков числа π (напомню, компьютеров тогда не было).

Обозначим F_n последовательность чисел Фибоначчи, F₁=F₂=1, F_n+1=F_n+F_n-1. Получим тождество:

Для доказательства принять p=F_2n, q=F_2n-1 в тождестве Эйлера и использовать тождество Кассини

Литература

• Rex H. Wu. Euler’s Arctangent Identity — Mathematics Magazine, March 31, 2004
• Ed Sandifer. How Euler Did It — February 2009
• Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen, 2011. Скачать
• Cameos for Calculus, Visualization in the First-Year Course-MAA. Roger B. Nelsen, 2015. Скачать

Рассмотрим трапецию Гарфилда такого вида:

Неравенство мгновенно доказано: верхняя сторона трапеции по теореме Пифагора равна и она не может быть меньше нижней стороны трапеции a+b. Равенство достигается, только если нижняя и верхняя стороны параллельны, то есть a=b.

Отсюда, кстати, следует, что для любого угла

Разделим обе части доказанного неравенства на 2 и вспомним, что , получим частный случай неравенства о средних:

Слева — среднее арифметическое, справа — среднее квадратичное двух чисел. Равенство достигается в случае равенства a и b.

Точно также без слов, опираясь только на теорему Пифагора, докажем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

Если положить a=x, b=1/x, получим

Используя еще одну трапецию Гарфилда, это неравенство можно улучшить:

Продолжение следует…

Все четыре треугольника — прямоугольные.
Гипотенуза желтого треугольника по теореме Пифагора равна корню из 5.
Гипотенуза зеленого треугольника тоже равна корню из 5 (это потому что зеленый и желтый треугольники равны).
Гипотенуза синего треугольника равна корню из 10.
Проверяем выполняется ли теорема Пифагора для белого треугольника: 5+5=10, значит, белый треугольник тоже прямоугольный и заодно равнобедренный.
Такая конструкция из трех прямоугольных треугольников ABCF называется трапецией Гарфилда. Джеймс Гарфилд (1831–1881):

Джеймс Гарфилд был одним из самых незаурядных президентов США.
В юности он успел побывать боцманом и плотником, позже работал адвокатом, учителем, директором одного из высших учебных заведений. Он придумал и опубликовал своё доказательство теоремы Пифагора.

Вспоминаем, что тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Значит,
tg ∠EFC = 1
tg ∠AFE = 2
tg ∠DFC = 3
В сумме эти углы составляют развернутый угол, отсюда:

Сравните с доказательством этой формулы, опубликованным на math.stackexchange.com.
 

Представим аналогичным образом угол C как сумму трех углов и получим:

И теперь представим угол EFC как сумму двух углов:

Трапецию Гарфилда можно применить для вывода формулы синуса и косинуса суммы углов.

Примем гипотенузу серого треугольника равной 1. Распишем катеты используя определения синуса и косинуса.

Вот и все, осталось списать формулы с рисунка:

И еще две формулы получим элементарной заменой угла β на -β:

Добавим в копилку еще четыре тригонометрические формулы, которые учить не надо — в любой момент вы их восстановите за одну минуту с помощью трапеции Гарфилда.

Домашнее задание. Получить с помощью трапеции Гарфилда формулы для тангенса суммы и разности двух углов.

 

---

 

Доказательство Гарфилда теоремы Пифагора на с. 161 журнала New-England Journal of Education, апрель 1876:

Обратите внимание на нотацию: вместо скобок черта над выражением.

Продолжение следует…