Рассмотрим доказательство этой формулы из обычного учебника по геометрии за 9 класс.

В двух словах план доказательства таков: вписываем в окружность правильные многоугольники (или описываем их вокруг окружности — на результат это не повлияет). При увеличении количества сторон периметр многоугольника будет все меньше отличаться от длины окружности.

Доказываем, что длина окружности пропорциональна радиусу. Осталось найти коэффициент пропорциональности, современное обозначение для которого ввел Эйлер: π — это первая буква в греческом слове περιφερεια — периферия, что означает “окружность”.

В давние времена, более двух тысяч лет назад, Архимед посчитал периметр 96-угольника, поделил на диаметр вписанной окружности и получил известное приближение
, которым мы с успехом пользуемся в бытовых вычислениях и по сей день. Впрочем, в Древнем Египте за 1500 лет до Архимеда использовали хорошее приближение для числа пи:

Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда по имени его первого владельца):

Это древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии (1985—1795 гг. до н. э.), переписанное писцом по имени Ахмес на свиток папируса высотой 32 см и шириной более 5 метров. Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. Папирус Ахмеса показывает, что древние египтяне с лёгкостью справлялись с измерением площади треугольника и относительно точно определяли приближение числа пи, тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. При этом древние египтяне ещё не знали таблицу умножения и все вычисления были крайне громоздкими.

А почему, собственно, не измерить π с помощью веревочки, линейки или прибора поточнее? Древний грек нам гордо ответил бы: «Возиться с приборами — это дело раба, привычного к ручному труду, а свободному человеку приличествует полагаться лишь на силу ума». Вот как, оказывается, рабовладельческий образ мысли проявляется даже в такой отвлеченной науке, как математика.

Школьный учебник — не научная монография, поэтому доказательство не очень строгое. Пропущен важный шаг. Для того, чтобы показать это, сохраним общую идею, но немного изменим процедуру — опишем квадрат вокруг окружности. Для определенности возьмем окружность диаметра 1, тогда периметр квадрата 4. Теперь удалим “лишние” уголки квадрата, сделав тем самым линию ближе к окружности:

Периметр полученной фигуры по прежнему равен 4.

Продолжая убирать уголки, получим зубчатую линию, длина которой равна 4, и которая с каждым шагом приближается к окружности, а значит, π равно 4:1 = 4. Архимед ошибался?

Кажется, что фигура, которая получается из квадрата, будет в точности повторять круг: ведь все отрезки, из которых состоит фигура, будут находиться сколь угодно близко к окружности. Несмотря на это, фигура кругом никогда не станет, потому что сколь малыми бы ни были её элементы, они представляют собой «угловатую» ломаную линию, периметр которой не меняется.

Данное «доказательство» представляет собой софизм, который заставляет внимательнее отнестись и к доказательству из учебника.

Еще один пример. Длина кривой не обязана иметь предел: увеличивая частоту колебаний, можно получить кривую сколь угодно большой длины.

Итак, предельный переход в доказательстве должен быть обоснован, так как далеко не всегда геометрическая “близость” двух кривых в пределе означает равенство их длин.

Обратимся к учебникам 60-х годов прошлого века, по которым учились нынешние академики и профессора.

Легендарный учебник по геометрии А.П.Киселева, 8 — 9 класс, Киев, 1966 год:

Раздел о вычислении длины окружности начинается с введения нового понятия — понятия о пределе, “имеющего исключительно большое значение во всей математике”.

Как получилось, что этот параграф убрали из программы школьного курса? уму не постижимо. Сумма бесконечной геометрической прогрессии — есть, начала анализа и понятие производной — есть, а операции предельного перехода нет: сократили. Товарищи-составители школьной программы, верните, пожалуйста, эту тему в наши учебники: предельный переход — одна из основных математических операций, такая же как сложение, умножение, вычитание, деление и возведение в степень.

Всего пять страниц в учебнике Киселева занимает параграф о том, что такое предел, почему не всегда этот предел существует и доказательство теоремы о том, что монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет определенный предел… и разрозненные главы обретают целостность, вывод формулы длины окружности из карточного домика, готового в любую секунду рухнуть под пытливым взглядом ученика, превращается в строгое доказательство.

Следует отметить, что сейчас учебники в старших классах многоуровневые, и включают материал для обычных детей и для тех, кто занимается предметом углубленно. Упомяните о теореме Вейерштрасса хотя бы в профильном учебнике, чтобы не выдавать за доказательство то, что доказательством не является.

Ссылки по теме:

• А. П. Киселев, Н. Рыбкин. Геометрия. Учебник и сборник задач для 8 — 9 класса, издание пятое. Под редакцией проф. Н. А. Глаголева. Киев, 1966 г. — с. 80 — 93
• А. П. Киселев. Геометрия (планиметрия, стереометрия), Москва, 2004 г — переиздание учебника, вышедшего в 1892 г — с. 177 — 190
• А. Г. Мерзляк и др. Геометрия, учебник для 9-го класса, Харьков, 2009 г (не полный) — с. 63 — 67
• Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику, Москва, 1997 г — с. 181 — 196
• Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова. Алгебра и элементарные функции 9 класс, Москва, 1969 г — с. 289 — 316 — очень понятное и подробное изложение, закономерно перетекающее в рассмотрение арифметической и геометрической прогрессий.
• Папирус Ахмеса — Википедия

На первый взгляд, графики имеют одну точку пересечения, и из соображений симметрии она лежит на прямой y=x.

Не будем спешить с выводами. Увеличим область в районе точки пересечения:

Desmos почему-то выделил три точки. Сделаем еще крупнее:

Оказывается, синий график, прежде чем уйти ниже зеленого графика, делает почти незаметный финт ушами, тем самым добавляя еще две точки перечения — x=0,5 и x=0,25. Подстановкой можно убедиться, что это точные корни нашего уравнения.

Заменим в уравнении 1/16 на 1/256 — разрыв между кривыми увеличился, три точки пересечения хорошо видны:

Для сравнения уравнение с 1/2 вместо 1/16:

Как мы и предполагали вначале, только одна точка пересения. Качественный скачок во взаимном расположении кривых происходит, по всей видимости, где-то между 1/2 и 1/16 (примерно 0.0659855).

Вот как это уравнение решила WolframAlpha:

Точки пересечения любезно выделены.

Вывод: графический метод решения уравнений имеет ограничения, связанные с тем, что линии графиков не идеально тонкие и могут сливаться на определенном участке, и тем не менее, компьютерные построители графиков (а кто сейчас строит графики вручную) обладают достаточным интеллектом, чтобы выделить точки пересечения и не дать пользователю потерять существенные детали.

Более подробно это уравнение проанализировано в статье:
Сидоров Ю. Об одном замечательном уравнении. Журнал «Квант», 1990-05

Очевидно, что

И поскольку , получаем тождество Эйлера для арктангенсов:

Когда p=q=1, получаем частный случай, который мы уже рассматривали в заметке про число пи:

Когда p=2, q=1, получаем

Подставляем в предыдущее тождество, получаем формулу Хаттона:

С помощью формулы Хаттона, в сочетании с разложением арктангенса в ряд, в 1847 году датский математик Томас Клаузен (Clausen) вычислил 248 знаков числа π (напомню, компьютеров тогда не было).

Обозначим F_n последовательность чисел Фибоначчи, F₁=F₂=1, F_n+1=F_n+F_n-1. Получим тождество:

Для доказательства принять p=F_2n, q=F_2n-1 в тождестве Эйлера и использовать тождество Кассини

Литература

• Rex H. Wu. Euler’s Arctangent Identity — Mathematics Magazine, March 31, 2004
• Ed Sandifer. How Euler Did It — February 2009
• Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen, 2011. Скачать
• Cameos for Calculus, Visualization in the First-Year Course-MAA. Roger B. Nelsen, 2015. Скачать

Рассмотрим трапецию Гарфилда такого вида:

Неравенство мгновенно доказано: верхняя сторона трапеции по теореме Пифагора равна и она не может быть меньше нижней стороны трапеции a+b. Равенство достигается, только если нижняя и верхняя стороны параллельны, то есть a=b.

Отсюда, кстати, следует, что для любого угла

Разделим обе части доказанного неравенства на 2 и вспомним, что , получим частный случай неравенства о средних:

Слева — среднее арифметическое, справа — среднее квадратичное двух чисел. Равенство достигается в случае равенства a и b.

Точно также без слов, опираясь только на теорему Пифагора, докажем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

Если положить a=x, b=1/x, получим

Используя еще одну трапецию Гарфилда, это неравенство можно улучшить:

Продолжение следует…

Все четыре треугольника — прямоугольные.
Гипотенуза желтого треугольника по теореме Пифагора равна корню из 5.
Гипотенуза зеленого треугольника тоже равна корню из 5 (это потому что зеленый и желтый треугольники равны).
Гипотенуза синего треугольника равна корню из 10.
Проверяем выполняется ли теорема Пифагора для белого треугольника: 5+5=10, значит, белый треугольник тоже прямоугольный и заодно равнобедренный.
Такая конструкция из трех прямоугольных треугольников ABCF называется трапецией Гарфилда. Джеймс Гарфилд (1831–1881):

Джеймс Гарфилд был одним из самых незаурядных президентов США.
В юности он успел побывать боцманом и плотником, позже работал адвокатом, учителем, директором одного из высших учебных заведений. Он придумал и опубликовал своё доказательство теоремы Пифагора.

Вспоминаем, что тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Значит,
tg ∠EFC = 1
tg ∠AFE = 2
tg ∠DFC = 3
В сумме эти углы составляют развернутый угол, отсюда:

Сравните с доказательством этой формулы, опубликованным на math.stackexchange.com.
 

Представим аналогичным образом угол C как сумму трех углов и получим:

И теперь представим угол EFC как сумму двух углов:

Трапецию Гарфилда можно применить для вывода формулы синуса и косинуса суммы углов.

Примем гипотенузу серого треугольника равной 1. Распишем катеты используя определения синуса и косинуса.

Вот и все, осталось списать формулы с рисунка:

И еще две формулы получим элементарной заменой угла β на -β:

Добавим в копилку еще четыре тригонометрические формулы, которые учить не надо — в любой момент вы их восстановите за одну минуту с помощью трапеции Гарфилда.

Домашнее задание. Получить с помощью трапеции Гарфилда формулы для тангенса суммы и разности двух углов.

 

---

 

Доказательство Гарфилда теоремы Пифагора на с. 161 журнала New-England Journal of Education, апрель 1876:

Обратите внимание на нотацию: вместо скобок черта над выражением.

Продолжение следует…

Обозначим вписанный угол x, тогда центральный угол составит 2x.
Используя определения синуса и косинуса, найдем катеты большого треугольника — это произведение гипотенузы (она равна 2) на синус угла x для противолежащего катета и на косинус угла x для прилежащего катета.
Все эти факты отображены на рисунке, набросать который не потребует ни усилий, ни времени.

Дополняем рисунок:

А теперь просто списываем формулы с рисунка.
Фокусируемся на светло-сером треугольнике — противолежащий катет равен произведению синуса угла на гипотенузу:

Снова смотрим на светло-серый треугольник — прилежащий катет равен произведению косинуса угла на гипотенузу:

Отсюда мгновенно с использованием основного тригонометрического тождества получаем еще три формулы:

Формула для тангенса получается делением на квадрат косинуса:

Из формул двойного угла элементарно получаются формулы половинного угла:

Способ 2

Разовьем успех. Построим прямоугольный треугольник с острым углом x и гипотенузой, равной 1 (на рисунке белый); затем на катетах построим два голубых прямоугольных треугольника, тоже с углами, равными x; серый треугольник получится сам собой:

Белый и голубые треугольники образуют фигуру, которая называется трапецией Гарфилда.

Поступим аналогично: распишем длины катетов через синус и косинус угла x. А теперь приравниваем верхнюю формулу нижней, а левую — правой:

Получили формулы двойного угла без единой выкладки, используя только определения синуса и косинуса.

Выводы

Итак, из курса тригонометрии необходимо запомнить:

1) определение синуса, косинуса, тангенса;
2) ОТТ — основное тригонометрическое тождество, которое представляет собой теорему Пифагора, записанную в терминах синуса и косинуса:

Десятки тригонометрических формул можно не учить и не выводить, а реконструировать при необходимости по рисунку.

Продолжение следует…

Здесь a — параметр, который можно изменять мышкой с помощью слайдера:

Кнопка слева от параметра включает анимацию.

Можно ввести несколько выражений, графики будут построены в одной системе координат.

А вот график в полярной системе координат:

Desmos умеет работать со списками, что позволяет одним кликом строить семейства функций:

Собственного поиска на сайте нет, поэтому для поиска среди опубликованных материалов используйте запрос google или яндекс вида «что искать site:desmos.com».

Решим графически неравенство:

Как построить график по точкам? Добавляем таблицу и вводим координаты точек, затем соединяем точки линией.

График параметрического уравнения:

График можно встроить на любой сайт или форум. Попробуйте подвигать точку:

Данный сервис с успехом может применяться преподавателями как наглядное пособие при объяснении материала.

На сайте размещено руководство пользователя, перевод которого на русский язык давно не обновлялся. Предлагаем новый перевод руководства, в котором более подробно рассказано о параметрах, таблицах, списках, регрессиях.

Скачать руководство пользователя Desmos, перевод на русский язык — ЯндексДиск

Ссылки по теме

Канал desmos на youtube

Daily Desmos — графические загадки. Еженедельно публикуется некий график, задача — найти уравнения для воспроизведения графика. При этом не используются сложные функции, такие как гиперболический секанс, а нужно подобрать изящную комбинацию элементарных функций.

teacher.desmos.com — сервис для учителей, множество готовых заданий, можно создавать свои задания. Для выполнения работы ученики получают код доступа к заданию, учитель в личном кабинете видит результаты каждого ученика, и может давать индивидуальные подсказки или же пояснения для всего класса.

Научный калькулятор от Desmos

Dynamic and Dynamite Desmos Demos — большое количество примеров

Избавимся от бесконечных корней:

Золотое сечение φ или золотое число  — среднее арифметическое 1 и корня из 5.

Портретик:

Представление в виде непрерывной дроби:

приводит к тому же квадратному уравнению.

Обратная величина:

φ — единственное число, которое, будучи прибавленным к 1, дает обратное себе число:
1 + 0,618 = 1 : 0,618.
Это родство операций сложения и умножения приводит к:

Золотое сечение возникает в математике довольно часто.

Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи — это последовательность, в которой первые два числа равны 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Названа эта последовательность в честь Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи. В своем труде «Liber Abaci» (1202) Фибоначчи исследовал развитие популяции кроликов, предполагая, что изначально есть пара кроликов; со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов. Сколько пар кроликов будет через год?

В конце n-го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количество новорожденных пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад. Таким образом:

Рассмотрим последовательность отношений следующего числа Фибоначчи к предыдущему:
1:1 = 1
2:1 = 2
3:2 = 1.5
5:3 = 1,666…
8:5 = 1,6
13:8 = 1,625
21:13 = 1,615…
34:21 = 1,619…
55:34 = 1,6176…
89:55 = 1,61818…
144:89 = 1,617977…
233:144 = 1,61805…

Отношения чисел Фибоначчи все ближе и ближе подходят к золотому сечению, но никогда не достигают его. Значит, любое число Фибоначчи примерно равно золотому числу, умноженному на предыдущее число Фибоначчи.

Если в качестве отправной точки выбрать любые другие числа, в том числе дробные и отрицательные, например, 1 и 100000, то последовательность чисел, разумеется, изменится, а вот отношения между членами останутся неизменными, стремящимися к золотому сечению.

Как мы получили выше, последовательность степеней золотого сечения также подчиняется правилу Фибоначчи.

n-е число Фибоначчи есть ближайшее к целое число.

Отсюда, если мы знаем, что F — это число Фибоначчи, то можем определить его номер по формуле:

Проявления в природе

…Отношение числа 0,618034 к 1 является математической основой формы игральных карт и Парфенона, подсолнуха и морской раковины, греческих ваз и спиральных галактик внешнего космоса. В основании очень многих произведений искусства и архитектуры греков лежит эта пропорция. Они называли ее «золотая середина».

Плодовитые кролики Фибоначчи выскакивают в самых неожиданных местах.
Золотое сечение проявляется в таких различных явлениях, как рост кристаллов, преломление светового луча в стекле, строение мозга и нервной системы, музыкальные построения, структура растений и животных.

Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса располагаются согласно последовательности Фибоначчи.

Семена подсолнуха растут по спирали одновременно в двух направлениях — по и против часовой стрелки, от центра цветка наружу.

Эти числа создают приятную для человеческого глаза рисунок или структуру, поэтому часто используются в архитектуре, дизайне.

Божественная пропорция

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей.

Если меньшую часть отрезка взять равной 1, то отношение большей части к меньшей равно , и наоборот, отношение меньшей части к большей равно .

В процентном округлённом значении — это деление величины на 62% и 38%.

В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. На рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны φ​​​. Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно φ.

Золотое сечение в архитектуре

Если взять строение, например, храм, построенный по принципу золотого сечения, то при его высоте скажем 10 метров, высота барабана с куполом будут равны 3,82 см, а высота основания строения будет 6,18 см.

Одно из выдающихся строений, выполненных по принципу золотого сечения – Смольный Собор в Питере. К собору ведут по краям две дорожки, и если приближаться по ним к собору, то тот будто приподнимается в воздухе.

Храм Василия Блаженного — тоже соблюден принцип Золотого сечения.

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Золотое сечение и зрительные центры

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения».

Любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре — спирали.

Золотой прямоугольник и спираль

Золотой прямоугольник — прямоугольник, отношение сторон которого равно φ: это книги, открытки, плитки шоколада, монитор компьютера, экран телевизора, бумажник и множество других предметов.

Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат, то получится снова золотой прямоугольник.

Построение золотого прямоугольника: построить квадрат стороной 1, разделить на два равных прямоугольника, провести диагональ.

Если построить прямоугольник со сторонами, соотношение которых будет равно пропорции золотого сечения, и вписать в него ещё один «золотой прямоугольник», в тот — ещё один, и так до бесконечности внутрь и наружу, то по угловым точкам прямоугольников можно провести спираль. Интересно то, что такая спираль совпадёт со срезом раковины наутилуса, а также другими встречающимися в природе спиралями.

Литовская монета:

Циклон над Исландией имеет спиральную структуру:

Пропорции человеческого тела

Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.

В теле человека отношение длины предплечья к длине руки равно 1.618, т.е. золотому сечению.

Идеальные пропорции тела человека, рисунок из Манасары:

Важной характеристикой золотого сечения является динамичность и стремление к разворачиванию.

Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

Калькуляторы золотого сечения

Фикулятор
Калькулятор золотого сечения лица
Golden Ratio
Type Scale
Modular Scale

Перепишем неравенство в эквивалентной форме:

Теперь понятно, что нужно выяснить поведение функции

Используя логарифмическое дифференцирование, найдем производную:

Функция возрастает если 0 > x > e и убывает если x < e, точка x = e - точка максимума.
Прямая y = 1 - горизонтальная асимптота.

Поэтому для любого x > e выполняется неравенство

1 случай. Для e <= a < b выполняется > , например,
2 случай. Для 0 < a < b <= e выполняется < , например,
3 случай. Для 0 < a < 1 < b, < поскольку < 1 и 1 < .
4 случай. Для 1 < a < e < b нельзя сделать общий вывод, например,

Трансцендентное число называется постоянной Гельфонда

Трудно заподозрить число пи в ложной скромности — оно и здесь в центре композиции.

Константу Гельфонда можно вычислить по рекуррентной формуле, в которую включаются только единица, двойка и основные арифметические действия. Сходимость очень быстрая:

var
k0, k, x: Extended;
n: Integer;
begin
k0 := 1 / sqrt(2);
for n := 1 to 100 do begin
k := sqrt(1 - sqr(k0));
k := (1 - k) / (1 + k);
if Abs(k) <= MinExtended then
Break;
x := Power(2, 1 - n);
x := Power(4 / k, x);
k0 := k;
Memo1.Lines.Add(Format('n = %d, x = %0.12f', [n, x]));
end;
end;