WolframAlpha. ВНО (ЗНО) по математике 2015

WolframAlpha — онлайн-система вопросов и ответов, база знаний и набор вычислительных алгоритмов. Движок этой системы основан на обработке естественного языка. Сервис запущен в мае 2009.


Несмотря на некоторое внешнее сходство с поисковыми системами, WolframAlpha не является поисковиком, так как не позволяет искать информацию на внешних ресурсах. Вместо того, чтобы предоставлять ссылки на другие сайты, этот сервис собирает факты и цифры из разных источников и потом оперирует этими данными для отображения результатов поиска в виде таблиц, графиков и других познавательных материалов разной степени наглядности и понятности. Иными словами, на запрос «сколько клавиш у фортепиано?» (how many keys on a piano) система не просто выведет список сайтов, на которых встречаются запрошенные слова, а сразу ответит — 88.

Разработчик системы — Стивен Вольфрам — британский физик, математик и бизнесмен, известный по программе компьютерной алгебры Mathematica. Подозреваю, что он живет не первую тысячу лет, так как чтобы написать программу, по возможностям сопоставимую с Mathematica, надо потратить уйму времени — как-никак 15 миллионов строк исходного кода.

Цель проекта скромная — мгновенно выдавать по запросу любые знания, которые можно систематизировать. На сайте вы найдете примеры запросов в области математики, лингвистики, физики, химии, статистики, финансов, музыки, художественного искусства, дизайна, социологии, истории, спорта. По сути, Wolfram Alpha является гибридом поисковых, справочных и интеллектуальных систем.

Умение задавать вопросы давно стало искусством, так как требует умения хотя бы сопоставлять то, что спросил, с тем, что услышал. В условиях, когда, девальвировав слово, человечество девальвировало мысль, сама идея вопроса отпала, нечем работать с ответом.

Далее… »

Спрашивать ВольфрамАльфу следует на английском. Хотя некоторые вопросы она понимает и на русском: вот спросите ее, что такое число (вопрос, конечно, философский). Но лучше выучить два-три десятка английских слов — и легко, и полезно. Кому тяжело и неполезно, но надо — скачайте сокращенный перевод запросов, касающихся математики:

Скачать

Краткий справочник математических запросов WolframAlpha на русском языке: Яндекс-Диск


Перечислим основные запросы.

Построение графиков

График функции одной переменной: plot x^3 - 6x^2 + 4x + 12 [запрос]


Система выдаст график сразу в двух специально подобранных для каждой функции масштабах — можно и поближе рассмотреть, и с высоты орлиного полета.

Несколько функций в одной системе координат: plot sin x, cos x, tan x [запрос]

График функции двух переменных: plot sin x cos y [запрос]


Впрочем, трехмерные графики google строит эффектнее. Еще пример.

Можно попросить решить неравенство: plot |x|^3+|y|^3 < 1

Рядом с каждым графиком и таблицей есть набор кнопок, большая часть которых не работает в бесплатном аккаунте. Кнопка «Copyable plaintext» работает и позволяет скопировать код на языке Wolfram Language. Этот код можно затем использовать в системе Matematica.

Площадь фигуры, ограниченной линиями

Запрос area between y=|x|, y=x^2-6

Алгебра

Решить уравнение: solve x^2 + 4x + 6 = 0

Решить систему: x+y=10, x-y=4

Решить уравнение в целых числах: solve 3x+4y=5 over the integers

Разложение многочлена на множители: factor 2x^5-19x^4+58x^3-67x^2+56x-48

Раскрыть скобки: expand (x+1)^3

Упростить выражение: simplify cos(arcsin(x)/2)

Функции

Область определения: domain of f(x,y) = log(1-(x^2+y^2))

Область значений: range of 1/sqrt(x^2+1) restricted to 1 < x < 4

Период функции: period y=sin(x)*cos(3x)

Четность функции: is sin(x+pi/4)+cos(x+pi/4) an even function?

Предел функции: Limit[Sin[x]/x, x -> 0]

Первая производная по переменной x: D[x^3*E^x, {x,1}]

Вторая производная по переменной x: D[x^3*E^x, {x,2}]

Интеграл: Integrate Log[x^3+1]/x^5, x=1..Infinity

Минимумы: minimize x^4-x

Максимумы: maximize x(1-x)e^x

Числа

Если ввести число, например, 28, система выдает всё, что знает об этом числе — простое ли оно, разложение на простые множители, перевод в двоичную систему, запись римскими цифрами, разложение в сумму квадратов и прочее.

Последняя цифра числа: last digit of 9^9^9

Последняя ненулевая цифра числа: last nonzero digit of 178,000!

Цепные дроби: continued fraction 12/67

Число прописью: write out 10^39

Выдать 200 цифр числа пи (или другой константы): pi to 200 digits

Отобразить число или интервал на числовой оси: interval [-sqrt(5), 1+sqrt(5)]

Выдать все простые числа, меньшие 100: primes

Простое число, ближайшее к указанному: prime closest to 169743212304

Миллионное простое число: 1,000,000th prime

Разложить на простые множители: factor 70560

Показать все делители числа: divisors 3600

Геометрия

Треугольник с указанными сторонами: triangle 5, 12, 13

Окружность, вписанная в треугольник: incircle of triangle 13,14,15

Окружность: circle, diameter=10

Шестиугольник: hexagon, perimeter=100

Правильный n-угольник (полигон): 19-gon

Последовательности

Предел последовательности: limit (1+1/n)^n, n->infinity

Суммы: 3+12+27+...+300

Произведения: 2 * 4 * 6 * ... * 36

Пытается распознавать последовательности, выдает формулу: 1, 4, 9, 16, 25, ...

Рекуррентную формулу преобразовать в обычную: g(0)=1, g(n+1)=n^2+g(n)


И много всякого разного умеет Wolfram Alpha, это, конечно, малая толика.

Подготовка к ВНО

«Умение ставить правильные вопросы есть уже важный и необходимый признак ума или проницательности. Если вопрос сам по себе бессмыслен и требует бесполезных ответов, то, кроме стыда для вопрошающего, он имеет иногда еще тот недостаток, что побуждает неосмотрительного слушателя к нелепым ответам и создает смешное зрелище: один (по выражению древних) доит козла, а другой держит под ним решето.» — писал великий немецкий философ Иммануил Кант.

В качестве иллюстрации возможностей Wolfram|Alpha решим 11-й вариант из сборника заданий для подготовки итоговых контрольных работ, 11 класс, автор Гончаренко С.В. (Ранок, 2015) [1, 2, 3]


1. Сколько процентов составляет число 9 от числа 45?
Запрос: what percentage 9 of 45

Ответ: Г) 20%


2. Представить выражение в виде степени
Запрос: x^5 x^3

Заодно функция была проинтегрирована, продифференцирована, построен график, определена четность функции, область определения, область значений и т.д. Хотя нам пока это не надо, возьмем на заметку.
Ответ: Г) x^8


3. При каком значении переменной выражение не имеет смысла
Запрос: domain (2a-2)/(3a+9)

Ответ: Г) -3


4. Известно, что m < n. Указать правильное неравенство. Начинаем проверять варианты.
А) запрос m/7 > n/7, выдал альтернативную форму m > n. Значит, не то.
Б) запрос m+10 > n+10, выдал альтернативную форму m > n. Значит, снова не то.
В) запрос -2m< -2n, выдал сразу две альтернативные формы m > n и n < m. Что характерно, обе не подходят.
Значит, ответ Г) 1-4m > 1-4n, даже и проверять не будем. Хотя подозрительно — четыре раза подряд ответ Г).


5. Вынести множитель из-под знака корня
Запрос: (16c^4d^5)^(1/3)
Результат немного обескураживает, так как переменная c проинтерпретирована как скорость света.


Не вдаваясь в физический смысл дня в пятой степени, уточним запрос, кликнув по ссылке Use «c» as a variable instead:


Это уже ближе к истине, однако такого ответа в вариантах ответов нет. Листаем дальше — несколько удивительных трехмерных графиков, разложения в ряды и прочее. Но ничего похожего на ответ. Незачет. Добавление слова factor — то бишь разложить на множители — делу не помогло.


6. Указать неравенство, множеством решений которого является (1; +∞).

А) Запрос: solve 5^x<5
Выдал много интересного, в том числе и решение: x < 1.
Попросим выдать интервал, запрос: interval x<1
Ответ (-∞, 1) — не подходит.
Б) Запрос: interval solve 5^x>1. Ответ (0, ∞) — снова мимо


В) Запрос: interval (1/3)^x<3^(-1) — оно.
Ответ: В)


7. Указать общий вид первообразной
Запрос: integral 3+4x^3 или primitive 3+4x^3
Ответ: Г) 3x + x^4 + C


8. Один из смежных углов в 4 раза больше второго. Определить градусную меру большего из углов.
Запрос: x+x/4=180
Ответ: В) 144


9. Найдите сумму углов правильного восьмиугольника.
Запрос: 8-gon


Ответ: В) 1080


10. На рисунке изображен куб. Указать скрещивающиеся прямые.
Ну это совсем уж на знание определения, пропускаем. Хотя по запросу cube выдается информация о фильме Куб, можно почитать.


11. Найти площадь осевого сечения цилиндра, высота которого равна 3 см, а радиус основания — 5 см.
Запрос: axial section of cylinder, h=3, r=5

В выдаче много познавательного, но про осевое сечение — ни слова.
Похоже, фраза:

Wolfram|Alpha знает очень о многом. Тысячи областей знаний и квинтильоны частичек данных покрывают поистине огромную область имеющихся у человечества знаний.

- небольшое художественное преувеличение.

Решение элементарно 3*10=30.
Ответ: Б)


12. Найти скалярное произведение векторов (3; -2;4) и (-5;1;3)
(да, вот такие простые задания нынче дают выпускникам школ)
Запрос: scalar product (3,-2,4) and (-5,1,3)
Ответ: В) -5


13. Найти площадь кругового сектора
Запрос: area of sector, angle=225, r=8
Ответ: 40 пи, остальные площади считать не буду, не интересно.


14. Доказать, что для всех вещественных x выполняется неравенство
Запрос: (1-2x)^2+4(x+3)(3-x)>2(13-2x)
Система услужливо сообщает, что это правда. Для доказательства раскроем скобки в левой части. Запрос: expand (1-2x)^2+4(x+3)(3-x)
и кликнем по кнопке Step-by-step solution

Начало расшифровки впечатляет повышенной детализацией, но списать получится только за денежку:


Платный аккаунт стоит около $7 в месяц (дороговато для системы, которая не слышала об осевых сечениях цилиндра), для студентов скидки. Платная подписка дает и другие расширенные возможности — можно загружать файлы для анализа, сохранять графики и таблицы в pdf, дополнительное процессорное время и т.д. Бесплатная регистрация в свою очередь позволяет добавлять запросы в фавориты, просматривать историю своих запросов.


15. Представить в виде произведения:
Запрос: sin a + sin 5a + 2 sin 3a
Ну, это просто — выбираем ту альтернативную форму, которая понравилась.


16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=5/x, y = 5, x = e.
Запрос: area between y=5/x, y = 5, x = e


Ответ: 5(e-2)


17. Решить уравнение
Запрос: solve sqrt(x^2+11)=x-1


Ответ: нет решений

Графики симпатичные, тем не менее, гложат сомнения насчет точки пересечения оных где-то в окрестности плюс бесконечности… Хотелось бы получить ход решения. Кнопка Step-by-step отсутствует напрочь, хотя если убрать в запросе слово ‘solve’ — кнопка появляется (странно это). Впрочем, в бесплатном аккаунте от нее толку нет. Прибегнем к помощи русско-говорящей поисковой системы Нигма-математика:
Запрос: корень из (x^2+11)=x-1


Видимо, застеснявшись того обстоятельства, что решение не нашлось, Нигма не показала ход решения (вдруг неправильное?). Хотя оно правильное.
Еще одна попытка — задействуем сайт SymboLab:


Решение настолько подробно, насколько это возможно, и включает в себя проверку найденного корня подстановкой в исходное уравнение.
Помимо уравнений с корнями, этот сайт умеет решать уравнения с модулем, показательные, логарифмические, тригонометрические и даже квадратные уравнения. Также строит графики функций. Неравенство из задачи 14 здесь доказано с подробными пояснениями.


18. Найти производную
Запрос: 3^(2x)+log_3(-3x)

Обратите внимание на нотацию: log без указания основания означает натуральный логарифм, который также принято обозначать ln.
Запрос: D[3^(2x)+log_3(-3x)] выдает почему-то ответ в другой форме:

Неискушенный ученик может и не сообразить, что это одно и то же. Снова обратимся за разъяснениями к другому сайту. Хотя SymboLab легко взял эту производную, на этот раз воспользуемся услугами Online Derivative Calculator:


Этот калькулятор умеет считать только производные, но делает это с блеском — не только дает подробные пояснения, какое правило и как именно было использовано, но и подсвечивает разными цветами соответствующие части выражения при наведении курсора мыши. Оставив в стороне дискуссию на тему, бывает ли логарифм от -3, который вы видите на скриншоте, перейдем к последней задаче.


19. Речь идет о прямоугольном треугольнике. NK параллелен катету BC и проходит через середину гипотенузы. NC=10, BC=12.

Запрос 1: right triangle c=10, a=6
дает 8 — половину катета AB

Запрос 2: area right triangle a=12, b=16
дает искомую площадь: 96.

Вывод: система Wolfram|Alpha вполне может заменить решебники и шпаргалки, но не голову. Википедию и гугл тоже пока не отменили.

API. Виджеты

Для разработчиков предоставляется API. Бесплатно — до 2000 запросов в месяц, вполне достаточно для использования в некоммерческих целях и для самообразования. Есть масса готовых виджетов для вставки на свой сайт.
Вот, к примеру, преполезнейший виджет, который вычисляет скорость, приобретенную телом в результате свободного падения:

(Для просмотра необходимо авторизоваться)

Полезные ссылки

Свод ссылок на сайты, упомянутые и не упомянутые в этой статье:

Число пи

Я не в домах из дерева и камня.
Расколи кусок дерева — и Я буду там,
подними камень — и там найдешь Меня

Завтра, 3/14/15 в 9:26:53 будет замечательный повод опрокинуть стопарик-другой.

Для всех окружностей отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число. Его принято обозначать греческой буквой π.

Пока читатели не разбежались, перефразирую попроще — длина окружности любого размера примерно в 3 раза больше ее диаметра. Этот удивительный факт перестает удивлять еще в младших классах на фоне других не менее удивительных фактов: вода замерзает, при этом лед твердый, а снег — наоборот, в розетке живет электричество и бьет током, небо голубое, хотя воздух прозрачен, сила тяжести всегда работает, но у нее нет мотора или батареек.

Далее… »



Число пи встречается в миллиардах научных формул. Ну и что? — спросите вы. (Скажем, например, большинство людей никогда не слышало о аналоге числа π для эллипса — о так называемом полном эллиптическом интеграле второго рода). Почему число пи уникально?

День числа пи

День числа пи отмечается любителями математики 14 марта в 1:59:26. В этот день читают хвалебные речи в честь числа π, его роли в жизни человечества, едят пиццу и пи-роги (Pi pie) с изображением греческой буквы «пи» или с первыми цифрами самого числа, пьют напитки и играют в игры, начинающиеся на «пи», решают математические головоломки и загадки.
(Для просмотра необходимо авторизоваться)

Загадки числа пи

Помимо того, что число пи имеет бесконечно много знаков в своей записи, их последовательность, в целом, полностью случайна. Так, например, в ней встретится любая наперед заданная последовательность цифр (математически это означает, что число π нормально). Во всяком случае, таково общее мнение. Однако даже подходы к доказательству этого не ясны. Неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа π бесконечное количество раз.

Первая 1000 цифр числа пи:

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
 

Начиная с какой позиции в десятичной записи числа π впервые встретится дата вашего рождения? ответ здесь или здесь.

Интереснее то, что число π встречается в огромном количестве математических конструкций — включая те, которые, вроде бы, не имеют ничего общего с окружностями. К примеру, суммы отрицательных степеней или же вероятность того, что случайно выбранная дробь будет несократимой.

Физикам π нужно, скажем, чтобы смоделировать солнечный ветер или взрыв. Число π встречается в каждом втором уравнении — можно открыть учебник теоретической физики наугад и выбрать любое. Если учебника нет, сойдет карта мира. Обычная река cо всеми ее изломами и изгибами в π раз длиннее, чем путь напрямик от ее устья к истоку.

Число пи и спички

… Я хочу сыграть с тобой в игру. У тебя есть 1000 иголок и один час, чтобы определить число Пи с точностью до шестого знака, иначе я буду определять его сам, намного точнее, скинув на тебя еще миллион иголок.

Показан один из способов нахождения числа пи — с помощью листа бумаги и множества спичек.


 
Что тут, в теории вероятностей, делает пи? никаких кругов и диаметров вроде не наблюдается… Интрига раскрывается здесь.

Вот, это вам не физика, где можно тысячу лет рассказывать, что Солнце вращается вокруг Земли, а следующую тысячу лет писать в учебниках прямо противоположное — все равно никто проверить не сможет. Тут любой дурак может взять калькулятор и перепроверить все выкладки.

Как его запомнить

Существуют стихи, в которых первые цифры числа π зашифрованы в виде количества букв в словах:

Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

По-английски без рифмы, но как-то более жизненно:

God! I need a drink —
Alcoholic, of course —
After all those lectures
Involving radical equations.

Многие мнемонические стихотворения и фразы заканчиваются на 32-м слове, потому что 32-м знаком пи после запятой является ноль, и выразить это словами не так-то просто.

Вот и знаю я число, именуемое пи!

Девятый вал


 
Статистически по закону троек происходит формирование морских прибрежных волн, что знали еще древние греки. Каждая третья волна в среднем чуть выше соседних. А в ряду этих третьих максимумов каждый третий, в свою очередь, выше своих соседей. Так образуется знаменитый девятый вал. Он — пик «периода второго ранга». Некоторые ученые предполагают, что по закону троек происходят и колебания солнечной, кометной и метеоритной активностей.
Можно и дальше продолжать подгонку циклов геологических эпох, периодов и эр под целые степени тройки или же числа 3,14. И всегда можно принять желаемое за действительное с той или иной точностью.

Вычисление числа пи

Формул для вычисления пи очень много.

Лейбниц сказал: спорим, я сложу число пи только из нечетных чисел:


Элегантно, не правда ли? и неожиданно…

Виет засмеялся и сложил число пи из двоек:

Валлис воскликнул: возьму каждой твари по паре:

Эйлер: гармонический ряд, конечно, расходится… но:

Рамануджан: Лейбниц, твой ряд сходится слишком медленно:

Эта формула отличается удивительным свойством: с вычислением каждого последующего члена она дает 8 новых десятичных знаков пи. Однако для доказательства этой формулы пришлось подождать три четверти столетия, так как Рамануджан не потрудился привести доказательство. (Примечание для программистов — это не аппроксимация, это тождество).

Остальные формулы приводить не буду, все равно не оцените красоту. И еще списочек. И еще.

Некоторые факты о числе пи

Ученым задали вопрос: «Чему равно пи?».
Инженер отвечает: «Это приблизительно 3 1/7».
Физик говорит: «Это 3,14159».
Математик (после небольшого раздумья): «Это равно π».

  • π — иррациональное число, то есть невозможно выразить пи конечной дробью
  • π — трансцендентное число
  • Начиная с 762-й позиции идет подряд 6 девяток — так называемая точка Фейнмана. А произнесите это по-английски — nine nine nine nine nine nine…
  • Альберт Эйнштейн, кстати говоря, родился 14 марта
  • В 1995 году были открыты алгоритмы, позволяющие найти любую цифру числа пи без необходимости вычисления предыдущих.
  • В году примерно π*10^7 секунд.
  • О связи числа Пи и числа 42: если взять десятичные разложения пи и 1/пи с точностью до пятидесяти миллиардов цифр после запятой, то в обоих случаях в конце будет 042.

Поистине, число пи — это открытая книга, которая еще никем не прочитана до конца.

Число пи и гравитация

Чему равно пи в квадрате? 9.86. Так вот, если вы хорошо учились в школе, то это число вам что–то должно напоминать. Правильно, это g, ускорение свободного падения. Правда не совсем, чуть–чуть мимо. Может ли это быть совпадением? Какая может быть связь между соотношением длины окружности к радиусу где угодно во Вселенной и ускорением свободного падения на Земле?

Ответ можете нагуглить самостоятельно.

Тождество Эйлера


 
Не знаю, что сказал Эйлер, когда открыл эту формулу, но любому математику понятно, что тема раскрыта и в математике делать больше нечего. Если коротенько, то это тождество связывает пять фундаментальных математических констант:

  • число е, или основание натурального логарифма,
  • i — мнимая единица,
  • число пи, отношение длины окружности к длине ее диаметра,
  • единица, нейтральный элемент по операции умножения,
  • нуль, нейтральный элемент по операции сложения.

Формула была опубликована Эйлером в 1740 году и произвела глубокое впечатление на научный мир. Были даже попытки мистически истолковать ее как символ единства математики: числа 0 и 1 относятся к арифметике, мнимая единица — к алгебре, число пи — к геометрии, а число e — к математическому анализу. [Последняя фраза перекопирована из википедии, в связи с чем непонятно зачем тут слова "мистически" и "попытки" - ясно как дважды два, что это и есть символ единства математики, ее апофеоз]

Можете объяснить такую вездесущность числа пи? наверно, эволюционировало путем естественного отбора…

Миры с иным числом Пи

Теперь у всех свои дела-заботы,
свой опыт неевклидовых начал.

Попробуйте ответить на вопрос, что было бы с миром, если бы число пи равнялось 4?

Являются ли физические постоянные действительно постоянными? Оказывается, нет. Исследование галактики М113 подтвердило гипотезу, о том, что «постоянные» медленно меняются со временем.
Шаровидная галактика М113 находится на расстоянии 4.6*10^9 световых лет от Земли, и мы видим ее такой, какой она была 4600000000 лет назад, что дает уникальную возможность увидеть, какой была Вселенная в прошлом. Недавно с помощью мощного телескопа были с высокой точностью измерены диаметр и длина ее окружности. Их отношение, равное значению числа пи в то время, оказалось равным 3.17 (напомним, сейчас пи = 3.14). Таким образом, пи со временем уменьшается, по–видимому, из–за расширения Вселенной. При сохранении нынешней тенденции пи станет равным 1 через приблизительно 1.5*10^11 лет. Но, может быть, люди найдут способ ускорить этот процесс?

Если более серьезно, то конструирование пространства, в котором пи колеблется в диапазоне от 3 до 4, описано в книге А. Жукова «Вездесущее число пи» (с.94). скачать

Скачать число пи — первые 100 миллионов знаков

Copyright © All Rights Reserved · Green Hope Theme by Sivan & schiy · Proudly powered by WordPress