Трапеция Гарфилда и неравенства о среднем

Задача. Пусть c — длина гипотенузы прямоугольного треугольника, длины двух других сторон треугольника равны a и b.
Доказать, что

Когда выполняется равенство?
(Канадская математическая олимпиада, 1969, задача 3)

Далее… »

Рассмотрим трапецию Гарфилда такого вида:


Неравенство мгновенно доказано: верхняя сторона трапеции по теореме Пифагора равна и она не может быть меньше нижней стороны трапеции a+b. Равенство достигается, только если нижняя и верхняя стороны параллельны, то есть a=b.

Отсюда, кстати, следует, что для любого угла

Разделим обе части доказанного неравенства на 2 и вспомним, что , получим частный случай неравенства о средних:


Слева — среднее арифметическое, справа — среднее квадратичное двух чисел. Равенство достигается в случае равенства a и b.

Точно также без слов, опираясь только на теорему Пифагора, докажем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:


Если положить a=x, b=1/x, получим


Используя еще одну трапецию Гарфилда, это неравенство можно улучшить:

Продолжение следует…

*

Copyright © All Rights Reserved · Green Hope Theme by Sivan & schiy · Proudly powered by WordPress