Что больше: pi^e или e^pi?

Что больше: пи в степени e или e в степени пи?
Что больше: a в степени b или b в степени a?
На первый вопрос ответить очень легко с помощью калькулятора:

и значит,

Однако калькулятор не пояснил, почему это неравенство истинно.

Далее… »

Перепишем неравенство в эквивалентной форме:

Теперь понятно, что нужно выяснить поведение функции

Используя логарифмическое дифференцирование, найдем производную:

Функция возрастает если 0 > x > e и убывает если x < e, точка x = e - точка максимума.
Прямая y = 1 - горизонтальная асимптота.

Поэтому для любого x > e выполняется неравенство

1 случай. Для e <= a < b выполняется > , например,
2 случай. Для 0 < a < b <= e выполняется < , например,
3 случай. Для 0 < a < 1 < b, < поскольку < 1 и 1 < .
4 случай. Для 1 < a < e < b нельзя сделать общий вывод, например,

Трансцендентное число называется постоянной Гельфонда

Трудно заподозрить число пи в ложной скромности — оно и здесь в центре композиции.

Константу Гельфонда можно вычислить по рекуррентной формуле, в которую включаются только единица, двойка и основные арифметические действия. Сходимость очень быстрая:

var
k0, k, x: Extended;
n: Integer;
begin
k0 := 1 / sqrt(2);
for n := 1 to 100 do begin
k := sqrt(1 - sqr(k0));
k := (1 - k) / (1 + k);
if Abs(k) <= MinExtended then
Break;
x := Power(2, 1 - n);
x := Power(4 / k, x);
k0 := k;
Memo1.Lines.Add(Format('n = %d, x = %0.12f', [n, x]));
end;
end;

Превосходство высшей математики

Нередко встречается пренебрежительное отношение «взрослых» математиков к школьному курсу математики, принимаемое за снобизм (возможно, ошибочно).
Попробую объяснить причины такого отношения.

Далее… »

Возьмем школьное определение множества натуральных чисел.

Натуральные числа — это числа, используемые при счете предметов.


Что волнует гуманитария в первую (и как правило единственную) очередь? Его волнует вопрос:
Если у меня есть что-то, как я могу это использовать?
Правильно, есть и более животрепещущий вопрос: если у меня чего-то нет, как я могу это отнять у другого?

Но вернемся к строгому математическому определению:

Множество натуральных чисел — это наименьшее индуктивное множество, содержащее 1.


Для понимания этого определения необходимо проделать предварительную работу — ввести понятие индуктивного множества; определить, как в наборе бесконечных множеств выбрать наименьшее и т.д. Строгое определение сразу же вознаграждает ученика за усилия, наделяя натуральные числа всеми свойствами индуктивных множеств и позволяя использовать наработки теории множеств.
Школьное определение не требует от ученика никаких усилий и не дает ничего для дальнейших логических построений.

Другой пример — пресловутое ОДЗ, которое есть во всех школьных учебниках и которого нет в википедии. Логика проста — есть уравнение, надо его решить. Есть набор тождественных преобразований, применяя которые решение удается получить не всегда. Ладно, говорят составители учебников, давайте добавим нетождественные преобразования, не все, конечно, а только те, которые расширяют ОДЗ уравнения. Проблема — могут появиться «лишние» корни. Ничего, потом отбросим корни, которые не удовлетворяют исходному уравнению. Так возникает школьное понятие Проверка и одновременно появляется новая проблема — что делать, если корней бесконечно много: не напроверяешься.

Допустим, неизвестная величина в знаменателе, но мы же не умеем делить на ноль — выкидываем те значения, которые приводят к делению на ноль. А еще мы не умеем извлекать квадратные корни из отрицательных чисел — выкидываем. Аналогично с логарифмами и всеми другими вещами, которые не поместились в школьный курс математики. То, что осталось после выкидывания всего, что мы не успели или не сумели объяснить, и называется Областью Допустимых Значений.

В русском языке падежей больше чем шесть, но если закончить среднюю школу и не заниматься самообразованием, можно так и умереть в неведении. Не то чтобы жизненно необходимо изучать все 13 падежей в школе, но упомянуть об их существовании было бы можно.

В начальной школе детей учат читать слова, как только они освоили несколько букв алфавита. Но это же не повод выделить эти первые буквы в отдельную категорию. Тем более заявлять, что кроме этих букв нет ничего.

Если комплексный анализ не входит в школьную программу, значит, корней из отрицательных чисел не существует. Хотя в американских учебниках глава, посвященная комплексным числам, есть. И коническим сечениям. Зато нет гомотетии и тридцати формул тригонометрии.


Оказывается, можно закончить школу и не знать что значит слово эллипс.
Не определение, а вот просто:
- Нарисуй эллипс.
- А что это?

Год за годом дети изучали окружность, параболу, гиперболу, потом не изучали эллипс, и вот пришло время магии — ребята, это же одно и тоже, нужно только найти правильную точку зрения! но нет, праздника не будет, давайте сократим часы на изучение математики, гуманитарии опять победили.



(1) Снобизм – подчеркнутая гордость своей принадлежностью к определенному кругу общества, воспринимаемому как особый и лучший, и ревниво блюдущему свою чистоту (несмешиваемость с окружающим миром).
(2) Множество A называется индуктивным, если для любого a ∈ A элемент a + 1 также принадлежит множеству A.
(3) Пересечение множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.
(4) Множеством натуральных чисел называется пересечение всех индуктивных множеств, содержащих 1.

Коврик Шкура из помпонов

Далее… »

помпоны крепятся к канве с крупным плетением




Варежки детские

Далее… »








Источник: morehousefarm

Вышивка Часики

Алфавит Желтые цветы

Алфавит Придумай историю

Далее… »




Источник: Cross-stitch spring 2017

Алфавит Лесная прогулка


Далее… »


Источник: Cross-stitch spring 2017

Алфавит Цветочная фантазия

Далее… »



Источник: Cross-stitch spring 2017

Алфавит Феи

Далее… »



Источник: Cross-stitch spring 2017

Copyright © All Rights Reserved · Green Hope Theme by Sivan & schiy · Proudly powered by WordPress