Закономерности и смысл


Глава из книги «Прелюдия к математике», 1972, автор Сойер У.У.

Восстанавливаем ход мысли экзаменатора

Бывает, что палеонтологи откапывают окаменелую косточку и по ней начинают восстанавливать очертания какого-нибудь ископаемого животного. Подобным образом можно представить себе деятельность экзаменатора, причем экзаменационные вопросы играют здесь роль окаменелой кости.

Хороший экзаменационный вопрос — не такое уж простое дело; он должен содержать интересный замысел или приводить к неожиданному ответу. Составлять такие вопросы нелегко. Поэтому экзаменатор, занимающийся исследовательской работой, старается обычно подметить материал, который он мог бы использовать в качестве экзаменационного вопроса. Часто в довольно серьезной работе встречаются алгебраические выкладки, которые можно вырвать из контекста и сформулировать как самостоятельную задачу.

Далее… »

Например, несколько лет назад студенты обратились ко мне со следующим примером из экзаменационного билета, который они затруднялись решить.

«Докажите, что если

то обе эти дроби равны выражению

Пример этот имеет очень определенную форму, и очевидно, что решение при помощи длинных и бесформенных вычислений ни на шаг не приблизило бы нас к ответу. Меня же в этом случае больше всего интересовал вопрос: каким образом экзаменатор додумался до такой задачи?

Внешний вид задачи позволяет нам увидеть следующее: ас—b^2 = 0 есть условие того, что три числа а, b, с составляют геометрическую прогрессию; выражение ас—b^2 содержится в числителе. Подобное же выражение стоит в числителе второй дроби. В знаменателе мы видим выражения а—2b + с и b—2c + d, которые ассоциируются с арифметическими прогрессиями: а—2b + c = 0 является условием того, что a, b и с — члены арифметической прогрессии. Еще здесь имеется своего рода правило, по которому знаменатели можно вывести из числителей. Например, в третьей дроби мы видим наверху произведение чисел а и d; а внизу — сумму этих чисел (числитель содержит ad, а знаменатель a + d). Отрицательные члены связаны подобным же образом; наверху стоит —bc, внизу — (b + с). Это правило с таким же успехом применимо и к первым двум дробям: в первой дроби, например, мы видим в числителе —b^2, т. е. —bb, а в знаменателе —2b, т. е. — (b + b).

Почти невозможно изобрести задачу, где элементы были бы так переплетены между собой. Такие вещи не изобретаются, с ними можно только нечаянно столкнуться. Я был совершенно уверен, что экзаменатор искал условия для чего-то и эти дроби образовались у него в процессе работы.

С чего начать решать эту задачу, было довольно ясно, нужно было ввести новый символ k для обозначения дробей. Тогда задача сформулировалась следующим образом:

и

докажите, что

Ввести новый символ k, когда имеешь дело с равными дробями, — дело обычное. Но вот, что делать дальше, было совсем неясно. Я перепробовал разные методы, которые хотя и вели к доказательству, но не удовлетворяли меня. Я продолжал обдумывать эту задачу на досуге и примерно неделю спустя натолкнулся на следующее. Уравнение (1) можно представить в виде ас—k(a + c) = b^2—2bk. Само собой напрашивается теперь ввести в обе части уравнения, чтобы придать им законченный вид, дополнительный член k^2. Справа это будет дополнение до полного квадрата (b—k)^2, а слева получится произведение (a—k) (c—k). Итак, (a—k) (c—k) = (b—k)^2. Иными словами, уравнение (1) выражает тот факт, что а—k, b—k и с—k — члены геометрической прогрессии.

Вот теперь все ясно. Уравнение (2) показывает, что b—k, с—k и d—k являются также членами геометрической прогрессии, следовательно, а—k, b—k, с—k и d—k составляют геометрическую прогрессию. Но произведение первого и четвертого членов геометрической прогрессии равно произведению ее второго и третьего членов. (Пусть члены геометрической прогрессии будут А, AR, AR^2, AR^3; тогда А⋅AR^3 = AR⋅AR^2.) Итак, мы имеем:

Если мы откроем скобки, вычеркнем k^2 и разрешим получившееся линейное уравнение относительно k, то получим равенство (3).

Можно предположить, что в своей научной работе экзаменатор стал перед вопросом: «Каким условиям должны удовлетворять четыре числа а, b, с и d, чтобы разности между каждым из них и некоторым постоянным числом k составляли геометрическую прогрессию?» Этот вопрос он и задал на экзамене.

Там, где есть закономерность, есть и смысл.
Открыть теорему и доказать ее путем бесформенных вычислений — этого совершенно недостаточно. Это означает, что мы не понимаем того, что открыли.


Разобранный выше пример поучителен не только с точки зрения экзаменационных вопросов. Он также подтверждает тезис: «Там, где есть закономерность, есть и смысл». Если в математической работе какого-либо рода повторяется некоторая ярко выраженная закономерность, всегда необходимо исследовать, почему она встречается. Она обязательно имеет какое-нибудь значение, которое мы можем воспринять как идею, а не просто как набор символов. Открыть теорему и доказать ее путем бесформенных вычислений — этого совершенно недостаточно. Это означает, что мы не понимаем того, что открыли.

Иногда требуется много времени, чтобы понять смысл алгебраической формулы; обычно имеется так много возможных методов подхода, что неизвестно, какой из них правильный. Я нахожу, что, имея дело с такими задачами, мой мозг совершает замедленную работу: сначала я не знаю, как подступиться к такой задаче, а через день, неделю, а иногда и месяц приходит вдохновение. Если учащийся должен решить подобную задачу в течение трех часов, т. е. в условиях экзамена, многое еще зависит от удачи. Обычный метод преодоления подобных трудностей заключается в том, чтобы припомнить соответствующие разделы учебника или какую-нибудь более простую задачу, чтобы заставить мозг работать в нужном направлении.

P.S.
Закономерность — необходимая, существенная, постоянно повторяющаяся взаимосвязь явлений реального мира, определяющая этапы и формы процесса становления, развития явлений природы, общества и духовной культуры.

P.P.S.
Через несколько дней после публикации заметки, выйдя на улицу, я увидела следующую картину:


Кто-то потратил время на то, чтобы поймать голубя и надеть ему на шею хлебное ярмо. Снять хлебную корку голубь не мог, сколько не пытался. Вероятно, так и стал легкой добычей кошки, отягощенный пищевой зависимостью. Остроумно.

Комментарии закрыты.

Copyright © All Rights Reserved · Green Hope Theme by Sivan & schiy · Proudly powered by WordPress