Kyle Landry — Rick and Morty Piano
Поразительно, где гении черпают вдохновение.
Kyle Landry. Кавер на тему Evil Morty «For the Damaged Coda» (оригинал).
Кайл почти под каждым видео опровергает комментарии о том, что запись ускорена. Он пишет: «Спасибо! Я рад, что могу играть настолько быстро, что вы думаете, что это невозможно.»
«Рик и Морти» — американский анимационный сериал. Рейтинг на IMDB 9.3.
Шаль-топ Trifoglio Shawl
Источник: spring 2016 issue of Creative Knitting
Дизайнер: Heather Zoppetti
ERRATA:
Chart 1, Row 18 should read like this:
K1, k2tog, yo, k5, yo, s3k2p, yo, k5, yo, ssk.
Доступ к переводам
Если вы испытываете сложности при скачивании файлов с Яндекс-Диска,
попробуйте один из следующих вариантов решения этой проблемы.
1) Установить последнюю версию браузера Опера, в расширенных настройках включить VPN
Опера предоставляет бесплатный и безлимитный встроенный VPN.
В адресной строке сразу появится иконка VPN:
2) Установить Яндекс-Браузер и включить режим турбо.
3) Также можно установить OpenVPN, подробные инструкции по настройке вы найдете в интернете по запросу «zaborona.help».
Коварство графического метода
Решим графически уравнение, используя Desmos:
Слева от знака равенства — показательная функция с основанием, меньшим 1, значит, функция убывающая (зеленый график). Справа от знака равенства — логарифмическая функция, также убывающая (синий график).
На первый взгляд, графики имеют одну точку пересечения, и из соображений симметрии она лежит на прямой y=x.
Не будем спешить с выводами. Увеличим область в районе точки пересечения:
Desmos почему-то выделил три точки. Сделаем еще крупнее:
Оказывается, синий график, прежде чем уйти ниже зеленого графика, делает почти незаметный финт ушами, тем самым добавляя еще две точки перечения — x=0,5 и x=0,25. Подстановкой можно убедиться, что это точные корни нашего уравнения.
Заменим в уравнении 1/16 на 1/256 — разрыв между кривыми увеличился, три точки пересечения хорошо видны:
Для сравнения уравнение с 1/2 вместо 1/16:
Как мы и предполагали вначале, только одна точка пересения. Качественный скачок во взаимном расположении кривых происходит, по всей видимости, где-то между 1/2 и 1/16 (примерно 0.0659855).
Вот как это уравнение решила WolframAlpha:
Точки пересечения любезно выделены.
Вывод: графический метод решения уравнений имеет ограничения, связанные с тем, что линии графиков не идеально тонкие и могут сливаться на определенном участке, и тем не менее, компьютерные построители графиков (а кто сейчас строит графики вручную) обладают достаточным интеллектом, чтобы выделить точки пересечения и не дать пользователю потерять существенные детали.
Более подробно это уравнение проанализировано в статье:
Сидоров Ю. Об одном замечательном уравнении. Журнал «Квант», 1990-05
Трапеция Гарфилда и числа Фибоначчи
Выберем произвольные положительные числа p и q, и положив один из катетов равным 1, построим следующую трапецию Гарфилда:
Очевидно, что
И поскольку 
, получаем тождество Эйлера для арктангенсов:
Когда p=q=1, получаем частный случай, который мы уже рассматривали в заметке про число пи:
Когда p=2, q=1, получаем
Подставляем в предыдущее тождество, получаем формулу Хаттона:
С помощью формулы Хаттона, в сочетании с разложением арктангенса в ряд, в 1847 году датский математик Томас Клаузен (Clausen) вычислил 248 знаков числа π (напомню, компьютеров тогда не было).
Обозначим Fn последовательность чисел Фибоначчи, F1=F2=1, Fn+1=Fn+Fn-1. Получим тождество:
Для доказательства принять p=F2n, q=F2n-1 в тождестве Эйлера и использовать тождество Кассини
Литература
- Rex H. Wu. Euler’s Arctangent Identity — Mathematics Magazine, March 31, 2004
- Ed Sandifer. How Euler Did It — February 2009
- Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen, 2011. Скачать
- Cameos for Calculus, Visualization in the First-Year Course-MAA. Roger B. Nelsen, 2015. Скачать
Трапеция Гарфилда и неравенства о среднем
Задача. Пусть c — длина гипотенузы прямоугольного треугольника, длины двух других сторон треугольника равны a и b.
Доказать, что
Когда выполняется равенство?
(Канадская математическая олимпиада, 1969, задача 3)
Рассмотрим трапецию Гарфилда такого вида:
Неравенство мгновенно доказано: верхняя сторона трапеции по теореме Пифагора равна
и она не может быть меньше нижней стороны трапеции a+b. Равенство достигается, только если нижняя и верхняя стороны параллельны, то есть a=b.
Отсюда, кстати, следует, что для любого угла 
Разделим обе части доказанного неравенства на 2 и вспомним, что 
, получим частный случай неравенства о средних:
Слева — среднее арифметическое, справа — среднее квадратичное двух чисел. Равенство достигается в случае равенства a и b.
Точно также без слов, опираясь только на теорему Пифагора, докажем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
Если положить a=x, b=1/x, получим
Используя еще одну трапецию Гарфилда, это неравенство можно улучшить:
